On me demande de considérer une actioon naturelle du groupe S3 !

On me parle de l'action naturelle de SL2(Z/2Z) sur (Z/2Z)² :
(A,x) -> Ax.
Je sèche complètement ! Je ne comprend rien du tout !

Salut,
si tu sais ce qu'est une action de groupe, je pense qu'il n'y a rien à comprendre. Tu prends une matrice 2x2 à coefficients dans Z/2Z et un vecteur dans (Z/2Z)^2 et tu les multiplies.
Tu peux montrer que c'est bien une action de groupe.

Salut,

quand tu prends Z/2Z, les vecteurs que tu as c'est (0 0),(1 0),(0 1) et (1 1).

Dessine les.

Maintenant quand tu prends une matrice dans Sl2(Z/2Z), mettons que je la regarde dans la base (1 0),(0 1).

A toute matrice tu peux associer une permutation de S3 vue comme permutation des vecteurs (1 0),(0 1) et (1 1). (*)

Ici on remarque que Sl2(Z/2Z) est en fait Gl2(Z/2Z) car le fait que le déterminant vaille 1 veut juste dire qu'il est non nul car c'est un élément de {0,1}.

(*) Tu peux aussi le voir avec l'action qu'on te donne, tu prends une matrice A de Sl2(Z/2Z) et un élément de (Z/2Z)² donc un vecteur parmi (0 1),(1 0),(1 1), cela échange bien les vecteurs car A est inversible donc si Ax=Ay alors x=y.

Ax te donne le vecteur qui lui est associé, cela nous donne bien un morphisme de Sl2(Z/2Z)-->S3(en ommetant (0 0) qui est toujours fixe...)

Pourquoi parles-tu cauchy de vecteurs ?
Et je me dis que le produit d'une matrice avec un vecteur n'est pas homogène quant à l'application Ax dont on me parle !

Pourquoi je parlerais pas de vecteurs, c'est quoi pour toi x?

Le produit d'une matrice 2*2 avec un vecteur colonne 2*1 est tout à fait homogène.

tu veux dire par vecteur de Z/2Z un couple de Z/2Z c'est bien cela ?
Ensuite je veux d'abord savoir ce que tu veux dire par le fait de regarder une matrice de SL2(Z/2Z) dans la base (1,0),(0,1)?
Puis est ce que je PEUX associer à toute matrice une permutation de S3 vue comme permutation des vecteur (1 0),(0 1) et (1 1).

Oui un élément de (Z/2Z)², donc les trois vecteurs qu'on a ici c'est (1 0),(0 1) et (1 1).

Tu prends une matrice A de Sl2(Z/2Z), pour chaque vecteur x tu lui associes Ax ca te donne une permutation sur 3 éléments.

Il faut voir que comme ca tu définis bien un morphisme de Sl2(Z/2Z) dans S3.

Ensuite pour montrer qu'on a un isomorphisme, il faut regarder le noyau de ce morphisme c'est à dire les A tels que la permutation associée soit l'identité.

désolé cauchy pour l'énorme retard.
En fait je vois mieux les choses. Mais comme d'habitude j'ai des petits soucis.
On considère alors l'application f définie par:
    SL2(Z/2Z) -> (Z/2Z)²
f :
    A         |-> Ax; avec x un des vecteurs (1 0),(0 1) et (1 1)

j'ai bien vu que c'est un morphisme, mais :
1- je vois pas pourquoi f(AB) = f(A).f(B)
2- On me demande un isomophisme de SL2(Z/2Z) sur S3, mais là j'en défini un de SL2(Z/2Z) sur (Z/2Z)². Que faire alors ?

merci

Pas de problème karim, prend tout ton temps

En fait oui à A on associe l'application qui à x associe Ax donc on définit un morphisme de Sl2(Z/2Z) dans S((Z/2Z)²*) et pas dans (Z/2Z)².

Pourquoi f(AB)=f(A)f(B)?

Essaye de l'écrire proprement tu vas voir cela coule tout seul.

Pour ta deuxième question, je t'ai répondu au-dessus c'est un morphisme dans S((Z/2Z))²*)  qui est isomorphe à S3.

pour ma première question : quand il s'agit d'un morphisme de groupes il faut d'abord montrer que f(AB)= f(A)f(B)
et puis comment montrer facilement que S((Z/2Z))²*)  est isomorphe à S3.

Oui je sais bien qu'il faut montrer, je te demandais de l'écrire proprement pour voir, essaye.

Pour le fait que S3 est isomorphe à S((Z/2Z)²*), S3 c'est l'ensemble des permutations d'un ensemble à 3 éléments, que ces éléments soient 1,2,3 ou trois vecteurs ca ne change rien à l'affaire.

Ben ce à quoi j'aboutit c'est :
f(AB) = ABx mais si f(AB) = f(A)f(B) (ce que je cherche à montrer) il va falloir prouver que : ABx = AxBx, mais je ne vois pas par où passer !

f(AB)=ABx ca veut rien dire vu que f(AB) est une application qui à x associe Ax.

je ne comprend pas car je lis que f(AB) est l'application qui à x associe ABx :s Non ?

Non je voulais dire f(A).

ben si ca ne veut rien dire alors qu'il faut montrer que c'est un morphisme tout cela n'est plus valable non ?
On est bien d'accord qu'il va falloir montrer que f(AB) = f(A) f(B) ?

Oui.

Comment ca c'est ce que tu as écris qui va pas mais c'est bien cela notre morphisme à une matrice A on associe l'application qui pour tout x associe Ax.

Donc pour montrer que les applications f(A)f(B) et f(AB) coincident il suffit de montrer qu'elles sont égales pour tout x.

dans ce cas c'est un résultat immédiat ?

Oui c'est immédiat si tu l'écris.

en gros je me fixe un x et je montre que
f(A)f(B)(x) = f(AB) ?
Sinon dans le cas général des isomorphismes je dois penser à quoi  quand on me demande de montrer que deux groupes sont isomorphes ? par exemple à l'action d'un groupe sur un autre ou quoi plus généralement ?

(f(A)of(B))(x)=(f(AB))(x).

Oui a l'action d'un groupe sur un autre par exemple ou aux théorèmes d'isomorphismes, tu as vu les actions en sup?

Il reste à montrer qu'on a un isomorphisme la on a montré qu'on avait un morphisme.

Oui on en a parlé en sup, en tant que complément!
tu veux dire quoi par théorèmes d'isomorphismes? Ensuite quels sont les bons réflexes à avoir pour construire un isomorphisme ?

Le théorème qui te dit que si tu as un morphisme de G dans G' alors G/Ker(f) est isomorphe à Im(f).

Les bons réflexes bien déja si tu connais bien les groupes et les relations entre éléments tu peux intuiter quand deux groupes sont isomorphes.

Ensuite cela dépend du contexte et desfois l'application à considérer est naturelle.

d'accord merci

De rien