Bonjour,

Supposons que p = 4m + 3 :

Comme n² = -1 mod p par hypothèse, on a :

(n²)^{2m + 1} = (-1)^{2m + 1} mod p

C'est-à-dire :

n^{4m + 2} = -1 mod p

ou encore

n^{p - 1} = -1 mod p

ce qui est contraire au théorème de Fermat, qui affirme que n^{p - 1} = 1 mod p.

Cordialement
Frenicle

Bonjour Monsieur
Je suis un jeune étudiant et je voudrais passer votre colle.
Voilà ce que j'ai trouvé, veuillez me dire si c'est bon.

p est impair donc p = 2a + 1
Si a est pair alors a = 2k et p = 4k + 1
Si a est impair alors p = 2(2a+1) + 1 = 4a + 3 .
Or p divise n2 + 1 donc il existe q tel que n2 + 1 = pq
et par suite n2 = pq - 1 = (4a + 3)q - 1 .
Si (4a + 3) - 1  était un carré alors (4a + 3)q ne pourrais pas en être un
or, c'est possible avec par exemple a=1 et q=7 ou a = 2 et q= 11 etc...
Mon raisonnement est donc faux puisque je ne me sert pas de la primalité de p.
Où est mon erreur ?Merci.

Bonsoir

Dans ton raisonnement, q n'est pas n'importe quel nombre entier. Il est déterminé par l'égalité n2 + 1 = pq, et donc ne peut pas prendre toutes les valeurs. Du coup, les valeurs que tu prends ne correspondent pas à des quotients du type (n2 + 1) / (nombre premier).

Sauf erreur.

Merci beaucoup pour la réponse.
Je n'arrive pas à trouver un nombre impair non premier divisant n2+1 qui ne soit pas égal à 4k+1.

Bonjour
Je reviens sur cet exercice.
Je n'arrive d'ailleurs même pas à trouver non plus un 4k+3 qui divise un n2 +1.
Pouvez vous m'en trouver un? Merci

Normal, il n'y en a pas:
si divisait décomposition en produit de facteurs premiers, alors décomposition en produit de facteurs premiers. Le nombre premier divise , donc d'après le résultat, . On en déduit la contradiction: .

Bref j'ai prouvé:
Soit p un entier impair et n un entier tel que p divise n²+1; p est congru à 1 modulo 4.

> Dremi
Je ne comprends pas ton raisonnement.
"Le nombre premier p_j divise n² + 1, donc d'après le résultat, p_j est congru à 1 où 2 (mod 4)."

D'après quel résultat ?

Cordialement
Frenicle

La preuve de Frenicle est très bien, tu en veux une autre ou tu ne la comprends pas ?

Bonsoir frénicle et merci Dremi pour ces précisions mais j'ai du mal à saisir le raisonnement .
C'est bien ce qui me semblait j'avais démontré que c'était impossible  , du coup l'énoncé devient caduc non?

Frenicle, d'après le résultat que tu as démontré pour les nombres premiers impairs (ne reste que le cas 2 à ne pas oublier)!

Cunctator, tu n'as pas démontré que c'est impossible: ton raisonnement montre uniquement que certains cas ne marchent pas, mais pas qu'aucun cas ne marche...
De plus, l'énoncé n'est pas du tout caduque, on peut simplement généraliser le résultat pour p non forcément premier, mais la preuve que j'en ai donné utilise le cas p premier, bien prouvé par Frenicle.

Ah oui, bien sûr

Le petit théorème de Fermat concerne  p premier ne divisant pas a   il aurait fallu indiquer dans l'énoncé  p ne divisant pas n et divisant n²+1 si on veut utiliser le dit théorème

salut

si p divise n alors p divise n^2

or p divise n^2 + 1 donc p divise n^2 + 1 - n^2 = 1

ce qui est absurde ...


ou encore : n^2 + 1 = (n + 1)^2 - 2n

si p divise n^2 + 1 et n alors p divise n + 1

si p divise n^2 + 1 et n + 1 alors p divise n

or n et n + 1 sont premiers entre eux ...

Tout à fait mais dans ce cas préciser que le théorème de Fermat est applicable car p ne divise pas n

oui il faut effectivement préciser les hypothèses quand on veut utiliser un théorème ...

Bonsoir,


A cause de la  puissance paire 2  ,il existe une troisième solution
négative entre -1 et 0  ;cas unique.

Alain

Bonsoir,

Oui,je me suis planté ,il s'agissait en fait de
il existe trois solutions  2,4  et une valeur négative,

Alain

Je suis intéressé par la réciproque à savoir que si p est un nombre premier impair  congru à 1 modulo 4 alors il existe un entier n tel que p divise n²+1

Bonsoir,
@alainpaul
Ce n'est pas plutôt x² = 2^x ?
Ce qui est sans doute équivalent à x⁴ = 4^x .

Je me suis inspirée de ton intervention pour lancer une perche dans ce sujet B^2=2^b

Bonjour,
@francois52,
J'ai ouvert un nouveau sujet pour ta question : Existence de n tel que p divise n²+1