Voici l'énoncé de mon exercice :
Soit la fonction définie par . On se propose d'étudier les suites définies par :
.
1. Etudier le sens de variation de et le signe de . Représenter ensemble les graphes de et de .
J'obtiens en dérivant f que f est strictement croissante sur . J'ai aussi trouvé que lorsque et négatif partout ailleurs avec exactement trois points d'annulation : 0, 1, 2.
2. Décrire la suite lorsque est un point fixe de f.
est constante et tous ses termes valent . (Je l'ai prouvé par récurrence.)
3. Soit . Montrer que , et en déduire que . Quelles sont les seules limites possibles pour la suite ? La suite est-elle monotone ? convergente ? Quelle est alors sa limite ? Interpréter graphiquement les résultats précédents.
Là, pas de soucis. Sachant que f est continue sur , si on suppose que converge vers l, alors l est solution de . Par passage à limite de l'encadrement de , on obtient que l = 1 ou l = 2. Cet encadrement apprend aussi que est minorée, et on montre grâce au signe de qu'elle est décroissante. Donc elle converge bien, et vers sa borne inférieure, qui ne saurait être 2. Donc l = 1.
4. Etudier les cas , et .
J'ai fait un raisonnement analogue à la question 3 pour le 1er cas. Mais pour le second et le troisième, ça coince. Pour le 3e, j'ai essayé de montrer que n'est pas minorée après avoir prouvé qu'elle est strictement décroissante. Mais impossible d'y arriver (trop compliqué pour moi je crois). J'ai alors pensé à construire une suite négative qui converge vers 0 à partir de , mais impossible de prouver qu'elle converge vers 0. Enfin, j'ai pensé majorer par une suite qui diverge vers , je n'y arrive toujours pas. C'est pourquoi je poste ce message en espérant que l'on daignera m'indiquer ce que je n'ai pas vu. Ca doit comme d'habitude être quelque chose d'évident, car c'est ma spécialité de ne jamais voir les évidences, ou encore "d'utiliser un marteau-pilon pour enfoncer une punaise", dixit mon prof de spé maths de l'an dernier... lol
Merci d'avance de vos réponses!
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