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un petit souci d'étude de limites

Posté par
ledimut
06-10-07 à 19:15

Voici l'énoncé de mon exercice :
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} la fonction définie par f(x) = \frac{x}{2}(x^2-3x+4). On se propose d'étudier les suites (u_n) définies par :
3$\{{u_0 \in \mathbb{R} \atop \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = f(u_n).
1. Etudier le sens de variation de f et le signe de f(x) - x. Représenter ensemble les graphes de f et de Id_{\mathbb{R}}.
J'obtiens en dérivant f que f est strictement croissante sur \mathbb{R}. J'ai aussi trouvé que f(x)-x > 0 lorsque x \in ]0,1[\cup]2,+\infty[ et négatif partout ailleurs avec exactement trois points d'annulation : 0, 1, 2.

2. Décrire la suite (u_n) lorsque u_0 est un point fixe de f.
(u_n) est constante et tous ses termes valent u_0. (Je l'ai prouvé par récurrence.)

3. Soit u_0 \in ]1,2[. Montrer que f(]1,2[) \subset ]1,2[, et en déduire que \forall n \in \mathbb{N}, u_n \in ]1,2[. Quelles sont les seules limites possibles pour la suite (u_n) ? La suite (u_n) est-elle monotone ? convergente ? Quelle est alors sa limite ? Interpréter graphiquement les résultats précédents.
Là, pas de soucis. Sachant que f est continue sur \mathbb{R}, si on suppose que (u_n) converge vers l, alors l est solution de f(x) - x = 0. Par passage à limite de l'encadrement  de (u_n), on obtient que l = 1 ou l = 2. Cet encadrement apprend aussi que (u_n) est minorée, et on montre grâce au signe de f(x) - x qu'elle est décroissante. Donc elle converge bien, et vers sa borne inférieure, qui ne saurait être 2. Donc l = 1.

4. Etudier les cas u_n \in ]0,1[, u_n > 2 et u_n < 0.
J'ai fait un raisonnement analogue à la question 3 pour le 1er cas. Mais pour le second et le troisième, ça coince. Pour le 3e, j'ai essayé de montrer que (u_n) n'est pas minorée après avoir prouvé qu'elle est strictement décroissante. Mais impossible d'y arriver (trop compliqué pour moi je crois). J'ai alors pensé à construire une suite négative qui converge vers 0 à partir de (u_n), mais impossible de prouver qu'elle converge vers 0. Enfin, j'ai pensé majorer (u_n) par une suite qui diverge vers -\infty, je n'y arrive toujours pas. C'est pourquoi je poste ce message en espérant que l'on daignera m'indiquer ce que je n'ai pas vu. Ca doit comme d'habitude être quelque chose d'évident, car c'est ma spécialité de ne jamais voir les évidences, ou encore "d'utiliser un marteau-pilon pour enfoncer une punaise", dixit mon prof de spé maths de l'an dernier... lol

Merci d'avance de vos réponses!

Posté par
ledimut
re : un petit souci d'étude de limites 06-10-07 à 19:16

Excusez-moi, mais je viens de m'apercevoir que j'en oublie même de vous saluer. Donc, bonsoir !

Posté par
ledimut
re : un petit souci d'étude de limites 07-10-07 à 11:32

Bonjour,
Si vous aviez ne serait-ce qu'une idée, cela me serait utile car j'ai oublié de préciser que cet exercice est un DM (eh oui, on nous en donne aussi en fac!)
Merci d'avance



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