Bonjour

Notons f la fonction polynôme associée à P et a et b les deux racines de P distinctes .

On a :
f est continue sur [a,b]
f est dérivable sur ]a,b[
f(a)=f(b)=0

Ainsi le théoréme de rolle est applicable et l'on conclu facilement


Jord

Attention à ce que tu dis nigthmare, c'est complétement faux évidemment.

Prend f définie sur C par
f(z)=exp(iz)-1
Tu as f(0)=f(2Pi)=0
Et pourtant il n'existe aucun z tel que f'(z)=0...
Note également que les intervalles [a,b] dans C ca ne signifie pas grand chose, ou plutôt oui, ca signifie la partie de segment reliant a et b.
Si tu appliques le théorème sur un intervalle, tu montres donc le résultat dans une seule direction tandis qu'il est vrai dans une infinité de direction.

Elhor: je vais regarder ton truc, tu me sembles très acharné par de l'analyse complexe ces temps ci...

a+

Oups bien sur , je me suis basé sur un polynôme réel et non complexe autant pour moi


Jord

J'ai une solution qui devrait marcher, mais qui est vraiment pas très fine, et qui ne me plait pas du tout, en regardant l'intégrale ci dessous:

1/(2iPi) intégrale de P'(z)dz/P(z) sur un lacet C bien choisi.

Je vais essayer d'en trouver une autre qui me plaira un peu plus...

Bonjour,

Question de béotien :
Le fait que, sur C, on ne puisse pas définir une relation d'ordre rend-il l'application du théorème de Rolle impossible ?

j'ai dit une bêtise ?

Philoux

Salut,
oui en effet, ca dépend de comment on formule le théorème.
Ici dans cette formulation il n'y a pas de question d'ordre:
si un polynôme possède deux racines, sa dérivée en possède un différente..

Si on pose f(z)=p(z)/p'(z)

Et que l'on applique le principe du maximum à f, on doit trouver le résultat (démo légèrement différente de celle du théorème de Liouville)

Je pense que ca marche, on doit trouver une contradiction je pense.

En effet ca marche bien:
puisque p' possède les mêmes racines que p, alors f(z) est un polynôme.
Notamment lorsque |z| tend vers l'infini, il en est de même pour |f(z)|.
Ainsi 1/|f(z)| est bornée et entière, donc est constante.
f est constante, contradiction.

Sauf erreur.

Bonjour à tous,
bien vu otto,le théorème est faux pour une fonction holomorphe en général mais il est vrai pour les polynomes et j'en donne une démonstration assez élémentaire:
i=r
écrivons P(z)=a(z-zi)^i
i=1
si on raisonne par l'absurde toute racine de P' serait racine de P avec un ordre de multiplicité qui diminue d'une unité ainsi si z'1,..,z'k sont les racines distinctes de P' on aurait:
i=k i=r
degré(P')=degré(P)-1='i(i-1)=degré(P)-r
i=1 i=1
ce qui donnerait r=1

Salut, en fait ma démo est fausse, la fonction f=p'/p est méromorphe non holomorphe...

Ah bahhhhh oui, ça change tout

A vous lire, tous les deux, on se sent _{tout petit} !

Philoux

En fait Philoux, une fonction est holomorphe sur un ouvert U de C si elle est dérivable sur tout cet ouvert.
Une fonction est méromorphe, si elle est holomorphe sauf en un certain nombre de points, et ces points sont des pôles:
Par exemple f:=x->sin(1/x) est holomorphe partout sauf en 0, mais 0 n'est pas un pôle pour f.
f:=x->1/x est méromorphe car f admet une singularité qui est 0, et qui est un pôle d'ordre 1.

Lorsque l'on a un polynôme P, deg(P)>1, on voit bien que deg(P)>deg(P')>0 et notamment P'/P admet forcément des pôles (donc méromorphe), et n'est donc pas partout dérivable, donc pas holomorphe.

C'était pas si compliqué
Et pour utiliser le théorème que je voulais utiliser, (Liouville) il faut que ma fonction soit entière, c'est à dire holomorphe, mais partout sur C...
Ce théorème dit qu'une fonction entière (ie dérivable partout) et bornée (ie il existe M tq qqsoit x |f(x)|<M) est constante...

La démonstration classique du théorème de D'alembert-Gauss passe par ce théorème.
a+

>Ahhhhhhh, ben oui
C'est plus clair maintenant

T'inquiètes, otto, j'ai décroché depuis longtemps !

Y'aurait une pointe de jalousie dans mes propos que ça ne m'étonnerait pas !

(_{Existe-t-il, d'ailleurs, un smiley "jalousie" ? sur d'autres forum ou messagerie...}?)

Philoux

Mais non il n'y a pas à être jaloux, c'est la branche dans laquelle je fais mon mémoire, vaut mieux que j'y connaisse 2-3trucs
A+

>otto

dans quel but le mémoire ?

(_{si pas trop indiscrêt !})

Philoux

Salut.
Dans le but d'être appelé docteur par les gens que je fréquente
C'est un peu prétentieux
En fait c'est pour être enseignant chercheur à l'université à long terme (laquelle?) et à court terme c'est pour avoir mon master.