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un peu d'integrale
pour m'entrainer a mon controle de demain j'ai trouver un exercice sans corriger sur les l'integrale mais je n'arrive pas a le faire.
soit ß x-> integrale de a à b de f(x+t)cos(t) dt
etudier la continuité de ß.
sachant que f appartient a C1 donc on doit faire une integration par partie je pense et un changement de variable en posant u=t+x mais je n'arrive pas ensuite.
et une question qui n'a aucun rapport d'un autre exercice depend des autre question posé dasn l'exercice contenant celui la:
lim quand a tend vers 0+ de integrale de 0 à 1 de (e^x-1)/(x+a) dx = integralede 0 à 1 de (e^x-1)/x dx
voila merci d'avance
Salut !
est-ce que tu as vu les théorème de continuité sous le signe intégrale, ou autre chose qui ce base sur une hypothese de domination ?
Es tu sûr que les exercices sur lesquels tu veux travailler correspondent bien à ton niveau (1ere année de prépa) ? Car comme le précise Kaiser, il existe des théorèmes vus en Spé qui permettent de répondre directement à ces questions
Bonsoir à tous
Car comme le précise Kaiser
pas vraiment non !
Sinon pour répondre à la question, c'est plus bête que ça (pas besoin d'appliquer les théorèmes de spé).
En effet, il suffit simplement de se rappeler qu'une primitive d'une fonction continue est de classe
Ici, on a mieux : comme f est de classe
FSN > il faut bien faire ton changement de variable. Ensuite, utilise les formule de trigo pour faire disparaitre la dépendance en x sous l'intégrale.
Kaiser
je ne vois pas en quoi en faisant le changement de variable et simplifier donc cos(u-x) car on a cos(u) integrale de x+a à x+b de f(u) cos(u) du +..............
la fonction cosinus est continue et ton intégrale définit aussi une fonction continue car avec la relation de Chasles on a :
Si l'on note F une primitive de f alors l'expression précédente vaut F(x+a)-F(x+b).
Comme f est au moins continue alors F est dérivable donc continue et donc on conclut.
On fait le même raisonnement pour l'autre morceau (représenté par des pointillés dans ton dernier message).
Kaiser
remarque : on aurait pu se passer de la relation de Chasles et on pouvait directement écrire que ça valait F(x+a)-F(x+b).
Kaiser
ouai, on peut s'en sortir sans c'est sur.
pour le deuxieme, on doit pouvoir "bricoler" un arguement de convergence uniforme... (j'entend par majorer l'ecart à la limite) et éviter ainsi de recourire au th de convergence dominé...
(exp(x)-1)/(x+a) - (exp(x)-1)/x =(exp(x)-1)*(a/((x+a)*x)=(exp(x)-1)/x * (a/(x+a))
bon en fait pour le convergence uniforme c'est grillé, ca converge meme pas partous vers 0 :p mais on peut quand meme s'en sortir :
sur [0,1], (exp(x)-1)/x est majoré (fonction continu) soit M sont majorant.
alors |int de 0 a 1 de (exp(x)-1)/x * (a/(x+a)) dx | =< M *int de 0 a 1 de (a/(x+a)) dx =M*a*ln(1+1/a) (apres calcule)
et on vérifie bien que la différence tend vers 0, ouf !
OK !
La continuité de peut se montrer (élémentairement) de la manière suivante :
on se fixe un réel
alors pour tout réel on peut écrire:
le réel étant déstiné à tendre vers
on peut le prendre par exemple dans l'intervalle
et ainsi les quantités et
se trouvent dans l'intervalle
et étant
sur
sa dérivée
est bornée sur l'intervalle
en notant et en utilisant l'inégalité des accroissements finis on peut écrire :
(sauf erreur bien entendu)
pour l'autre question que j'ai minorer par un fonction qui tend vers 0 quand a tend vers 0 car abs( de la diferrence des deux integrale est inferieur a integrale de 0 à 1 de (abs(a(e^x-1))dx
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