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Un polynôme dans C (complexe)...

Posté par jmix90 (invité) 22-07-05 à 16:11

Bonjour,

C'est encore moi avec un exo ou j'ai encore du mal!

Cette Fois ci j'ai un polynome P: P= X^3 +aX^2 - \bar{a}X - 1 avec a=\frac{1-i\sqrt{7}}{2}

Je trouve que ca implique:
a\bar{a}=2
a^2=-\bar{a}
(1+a^2)=-\bar{a}
                          
On me demande de montrer que P(X²) est divisible par P(X°), je l'ai fait et je trouve que P(X^2)= (X^3 +aX^2 - \bar{a}X - 1)(X^3 +aX^2 - \bar{a}X + 1)

Ensuite on me demande d'en déduire les racines de P mais c'est la que   je ne vois pas comment les déduire...

Si quelqu'un trouve a m'aider, merci d'avance !

Posté par tutu (invité)re : Un polynôme dans C (complexe)... 22-07-05 à 16:39

Salut,


Si u est racine alors u^2 et u^4 aussi et u^8 = u donc u^7 = 1.

Je te laisse voir pourquoi u = e^{2i\pi/7}

Posté par philoux (invité)re : Un polynôme dans C (complexe)... 22-07-05 à 16:57

>tutu

Qd tu dis

u racine; comme P(u²)=P(u).Q(u) si P(u)=0 alors P(u²)=0 donc u² racine

de la même manière u2p est racine.

Ou je bloque, c'est quand tu dis u^8=u ; comment le déduire ?

parce qu'après, si u^8=u, comme u^8=u^7.u => u^7=1 et u sont les racines septièmes de l'unité

Question : un éclairage, stp, sur u^8=u

Merci

Philoux

Posté par jmix90 (invité)Bonjour, 22-07-05 à 16:59

J'ai pas compris !!

Pourquoi u^8=u ??

merci de m'eclairer;

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:Un polynôme dans C (complexe)... 22-07-05 à 17:07

Bonjour jmix90,je crois que tu t'es trompé car avec a=\frac{1-i\sqrt{7}}{2} on a plutot les relations:
\{{|a|^2=a\bar{a}=2\atop\ a^2=a-2=-1-\bar{a}}\

Posté par jmix90 (invité)oui 22-07-05 à 17:12

Oui, je suis désolé, faut de frappe !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:Un polynôme dans C (complexe)... 22-07-05 à 17:33

Voilà, P est de degré 3 donc au plus 3 racines soit u l'une d'entre elles mais u^2 et u^4 sont aussi racines de P et u,u^2 et u^4 sont 2à2 distinctes (facile à vérifier) en écrivant:
P(X)=(X-u)(X-u^2)(X-u^4) tu as en développant
\{{u^7=1 \atop\ u+u^2+u^4=-a \\ u^3+u^5+u^6=-\bar{a}}\
ainsi u=e^{\frac{2ik\pi}{7}} avec k=1,2,3

Posté par philoux (invité)re : Un polynôme dans C (complexe)... 22-07-05 à 17:41

Merci elhor_abdelali pour cette explication afin de trouver u^7=1

mais comment, initialement, dire que u^8=u ?

Ca semble évident à tutu et les bases me manquent pour savoir pourquoi ?

Autre chose : u, u² et u^4 distinctes : vérifié par développement de (1-iV7)/2 ?

Philoux

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Un polynôme dans C (complexe)... 22-07-05 à 18:45

Oui philoux il faut que reconnaitre que u^8=u ne peut pas se voir tant que l'on n'a pas montré que u,u^2 et u^4 sont 2à2 distinctes(chose que tutu a supposé sans doute)
pour établir que u,u^2 et u^4 sont distinctes j'ai vu que l'égalité de 2 d'entre elles conduisait à u=0,u=1,u=-1,u=j ou u=\bar{j} avec j=e^{\frac{2i\pi}{3}} puis j'ai vérifié rapidement qu'aucune de ses valeurs n'était racine de P.

Posté par jmix90 (invité)Ho 22-07-05 à 20:13

Et bien merci, ca me semble bien plus clair comme ca !!

Encore merci !

Posté par jmix90 (invité)Réponse ! 22-07-05 à 20:42

Juste une précision: Pourquoi on n'as pas k=1,2,3,4,5,6 mais seulement k=1,2,3 ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Un polynôme dans C (complexe)... 22-07-05 à 23:09

Oui jmix90,remarquons tout d'abord que l'on peut se contenter des 2 équations:\{{u^7=1\atop\ u+u^2+u^4=-a}\ (la 3ème s'obtient comme cojuguée de la 2ème) ainsi u est une racine septième de l'unité vérifiant en plus u+u^2+u^4=-\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{7}}{2} il suffit maintenant de remarquer que les racines septième de l'unité (autres que 1) forment deux classes stables par carré
\{e^{\frac{2i\pi}{7}},e^{\frac{4i\pi}{7}},e^{\frac{8i\pi}{7}}\} et \{e^{\frac{6i\pi}{7}},e^{\frac{10i\pi}{7}},e^{\frac{12i\pi}{7}}\} les racines de notre polynome en forment une et une seule comment savoir laquelle? pour trancher remarquons que:
sin(\frac{2\pi}{7})+sin(\frac{4\pi}{7})+sin(\frac{8\pi}{7})=-[sin(\frac{12\pi}{7})+sin(\frac{10\pi}{7})+sin(\frac{6\pi}{7})] laquelle de ces 2 sommes vaut \frac{\sqrt{7}}{2} il suffit de faire un dessin pour voir que c'est la 1ère et ainsi les racines de notre polynomes sont e^{\frac{2ik\pi}{7}} k=1,2,4 (et non pas 1,2,3 comme j'ai écris )

Posté par jmix90 (invité)yop 22-07-05 à 23:37

Merci beaucoup de ce corrigé magistral ... J'avais vraiment pas pensé a ça !!

Merci encore

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Un polynôme dans C (complexe)... 23-07-05 à 04:00

Merci à toi jmix90,
deux égalités en bonus:
4$\blue\{{cos(\frac{2\pi}{7})+cos(\frac{4\pi}{7})+cos(\frac{8\pi}{7})=-\frac{1}{2}\atop\ sin(\frac{2\pi}{7})+sin(\frac{4\pi}{7})+sin(\frac{8\pi}{7})=\frac{\sqrt{7}}{2}}\

Posté par jmix90 (invité)lol 24-07-05 à 23:04

merci alors pour ce bonus  


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