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comme tu le dis alpha est une racine complexe...dans A,pourquoi serait-elle dans A,pour moi on est dans a si on est un polynome de Z[X] pris en alpha.
Mais alpha n'est pas un polynome à coefficients entiers puisque c'est un complexe.
Id il appartient à A ou non ?
OK, on s'est un peu emmêlé les pinceaux : "qui parle avec qui" ?
Bref
robby > pour la 4), tu peux déjà dire que cette intersection définit un sous-groupe de donc il est de la forme
avec p un entier naturel.
reste à montrer que p est nécessairement premier.
H_aldnoer > essaie de montrer que n'est pas dans A, bien que 2 soit dans A.
Kaiser
Je crois kaiser que j'ai pas bien compris ce qu'est A.
Ca signifie quoi qu'un élément h est dans A ?
H_aldnoer > un élément x est dans A, s'il existe un entier naturel n et des entiers relatifs tels que
Kaiser
je suis d'accord que P inter Z est un sous groupe de Z donc de la forme p.Z.
Maintenant faudrait se servir du fait que P est premier mais je vois pas comment...
Bon au moins c'est plus clair !
2 est dans A avec et
si i est strictement plus grand que 0
1/2 n'est pas dans A car s'il était dans A on aurait l'égalité : qui implique
(car deg(1/2)=0)
ceci est absurde car est dans
on a montré que 2 (qui est non nul) est dans A mais on inverse qui est n'est pas dans A : il existe un élement non nul qui n'est pas inversible dans A, A n'est pas un corps.
raisonne par l'absurde.
Suppose que p n'est pas premier, donc p s'écrit mn avec m et n deux entiers supérieurs ou égaux à 2.
Kaiser
H_aldnoer > toujours pas. ce ne sont pas des polynômes dont tu pourrais identifier les coefficients. Ce sont des complexes.
Kaiser
si, ça c'est bon.
Sinon, tu peux identifier les parties réelles dans l'égalité de ton message de 00h17.
Kaiser
robby > non, n'utilise vraiment que m et n.
p est dans P qui est premier, donc que peut-on dire de m et n ?
Kaiser
Donc ce qui est faux c'est le fait que 1/2 n'est pas dans A ?
attention à la double négation : ce qui est faux est que 1/2 est dans A.
(je ne vois pas de message à 00h17!)
au temps pour moi : 00h07
Kaiser
ils appartiennent à P aussi!! puisque tu me dis p=m.n donc si p dans P,m.n dans P,premier donc soit m soit n est dans P.
Est-ce que si m est dans P premier,m est nécessairement premier??
si oui pourquoi?
ils appartiennent à P aussi!! puisque tu me dis p=m.n donc si p dans P,m.n dans P,premier donc soit m soit n est dans P.
Est-ce que si m est dans P premier,m est nécessairement premier??
si oui pourquoi?
non, en fait, on va en déduire une contradiction : si m est dans P, alors comme est un entier ...
Kaiser
Bon là j'ai vraiment un souci je crois!
pour un entier quelconque n,ça veut dire quoi qu'il est dans un idéal premier P ?
pour moi ça veut pas dire grand chose,parce que pour moi les éléments de P sont des éléments,pas des entiers..enfin je sais pas si je me fais bien comprend là...mais je comprend pas le cheminement qu'on fait...
de toutes façons, tu sais que donc tu va avoir un terme sur deux qui sera imaginaire pur et un terme sur deux qui sera un entier.
Bon sur ce, je te laisse donc bonne nuit ! 
Kaiser
robby > m est un élément de P, mais c'est aussi un entier, donc m est dans .
Je te laisse en déduire une contradiction.
Kaiser
cela veut-il dire que P inter Z=mZ ?
donc n=1 or on a supposé n>=2...??
si c'est pas ça,j'arrete je verrais plus tard!
H_aldnoer>
J'ai pas compris la contradiction !
grâce à la partie réelle, tu vas avoir que 1/2 va être égal à une somme d'entiers, donc un entier, donc problème ...
robby > oui, c'est ça.
ça veut dire que m appartient à
Bon, moi je file pour de bon !
Kaiser
OUF!!
Merci Kaiser!!
Bonne nuit mais t'inquietes pas il reste plein de questions
tu va pouvoir t'amuser avec nous encore longtemps je crois!
Salut Tigweg!!
je vais au pieu moi aussi,je verrais la suite demain!
H_aldnoer...ça yé il est parti Kaiser
regarde il reste plus grand monde à part Tigweg donc moi je stop là!
Bonne nuit tout le monde et à demain!
Toute façon demain je commence tard !
>moi je dors!!
Kaizer avec un z?
>Ca fait surtout "The Kaiser" quoi,c'est comme "The BOSS"
c'est un petit hommage à Zizou encore
donc par le thm de factorisation,g induit un isomorphisme de Z[X]/(X²+5) dans A
Il faut pas montrer que l'application g est surjective ?
Si bien sur! mais c'est exactement le meme chose que pour le DM1 H_aldoner...exercice 3.
Donc c'est pour ça que j'ai zappé.
En revanche je m'atteleré sur la suite dans la soirée.
Bonjour à tous
H_aldnoer > pour ton message de 1h05 : non, on n'a affaire qu'à des entiers.
robby > tu t'en sors sinon ?
Kaizer
Bonjour Kaiser!
pour la 4)b)
i) c'est le théoreme de factorisation,faut montrer f surjective...c'est la composé d'une application injective et d'une surjective...je sais pas trop
évidemment on en déduira que Fp=Z/pZ=Ker(q) et Im(q)=A/P
pour ii) je comprend pas la question!
pour iii)on se sert du fait que l'on aura montré Fp iso à A/P
comme p premier,Fp est un corps et donc A/P aussi donc P est maximal.
en fait il me reste essentiellement qu'à montrer que f est surjective et la question ii).
(je mettrais la suite et fin de l'exercice ce soir)
pour la i), pourquoi f surjective ?
pour la ii), il faut essayer de déterminer une loi externe qui fasse de A/P un Z/pZ espace vectoriel.
Pour cela utilise l'homorphisme q.
pour la iii), pourquoi a-t-on Z/pZ isomorphe à A/P ?
Kaiser
eh bien Kaiser,je pensais utiliser à nouveau le théorme de factorisation des isomorphismes...
pour cela il me faut f surjective non?
et donc par là ensuite comme q sera injective et que q est un morphsisme d'anneau de Z/pZ dans A/P,ces deux trucs seront isomorphes non??
Ca me semblait pourtant logique.
pour ii) je sens que je vais en baver encore!!
non, tu n'as pas besoin d'avoir la surjectivité (d'ailleurs, elle ne l'est pas).
Ici, on doit simplement appliquer le théorème de factorisation des homomorphismes.
La seule chose que l'on doit vérifier est que le noyau de s est inclus dans celui de f.
Tu peux aussi construire q explicitement (en disant, je pose q(x)=f(y) si x s'écrit s(y), en vérifiant que c'est bien défini).
Kaiser
tu n'as pas besoin d'avoir la surjectivité
>ah bon bah c'est parfait alors!
le noyau de s est inclus dans celui de f.
>D'ou la question 4)a)!!
Ker(s)=p.Z,Ker(f)=P donc OK!
i et ii c'est donc ok
pour la ii)
il faut essayer de déterminer une loi externe qui fasse de A/P un Z/pZ espace vectoriel.
Pour cela utilise l'homorphisme q.
>alors déjà ça veut dire quoi un Z/pZ espace vecoriel??
>alors déjà ça veut dire quoi un Z/pZ espace vecoriel??
p est premier donc Z/pZ est un corps.
On te demande simplement de montrer qu'il existe une structure d'espace vectoriel sur A/P dont le corps de base est le corps Z/pZ.
On sait déjà que A/P est un groupe additif.
Il ne reste donc qu'à définir la loi externe.
Kaiser
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