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Un problème d'algèbre complet
Bonsoir,
voici un petit problème qui me pose problème :
On considère une racine dans
du polynôme
de
et l'on désigne par
le sous-ensemble de
:
1/ Montrer que est un sous-anneau de
. Montrer que
est un anneau intègre mais n'est pas un corps.
2/
a- Montrer que pour tout polynôme de
il existe un unique polynôme
de
et un unique couple
de
tels que
b- Déduire de a- que pour tout élément de
il existe un unique couple
de
tel que
. Déterminer
lorsque
avec
c- Montrer que est isomorphe à l'anneau quotient
d- Montrer que est un anneau noetherien
e- Montrer que est un idéal premier et non maximal de
.
----
Ce que j'ai fais :
1/
Soit dans
et
dans
, on a
dans
,
dans
et 0 et 1 sont dans
, ça OK.
Montrons que il existe deux polynômes f et g dans tel que :
(f différent de 0 et g différent de 0) et
différent de 0 dans A
différent de 0 dans A
qui est dans A.
On a donc A est intègre.
Pour montrer que c'est un corps :
alors
, or
qui n'est pas dans
de même pour son inverse : donc f n'est pas inversible bien que non nul.
2/
a- Division Euclidienne
b- et plus, je n'arrive pas !
Merci.
Bonjour H_aldnoer
1) OK, pour le fait que c'est un sous-anneau par contre, je n'ai pas compris ce que tu as fais pour montrer que c'est un anneau intégre.
Rappelle moi la définition d'un anneau intégre (en même temps, ici, la raison de l'intégrité de A est très simple, pas besoin d'aller chercher bien loin).
2)
a)
OK, pour la division euclidienne. cependant, il faut dire que ça marche car on effectue la division euclidienne par un polynôme unitaire.
b)
pour la première partie de cette question, utilise la question précédente.
Kaiser
b) (deuxième partie de la question)
On n'a pas le choix : il faut faire la division euclidienne à la main.*
c) en général, comment montrer qu'un anneau est isomorphe à un certain quotient.
d) j'y réfléchis
e) utilise c)
Kaiser
Bonjour kaier,
pour l'intégrité de A ssi 0 est le seul diviseur de 0 c'est à dire que pour x,y dans A,
xy=0 implique x=0 ou y=0
non?
oui, mais ce n'est pas ce que tu as montré.
En fait, je n'ai pas compris ce que tu as fait.
Sinon, encore une fois, l'intégrité est simple à montrer : il suffit de dire une seule chose.
Kaiser
Salut Kaiser!!
H_aldoner...
>pour l'intégrité c'est pas parce que c'est un sous anneau de C et que C est integre??
Salut robby
>pour l'intégrité c'est pas parce que c'est un sous anneau de C et que C est integre??
toutafé !
Kaiser
Je nomme R l'assertion xy=0.
Puis S l'assertion x=0 ou y=0.
A intègre ssi R implique S.
On nie R implique S :
on sait que R implique S est équivalent à S ou nonR, donc non(R implique S) est équivalent à non(S ou nonR)=nonS et R.
Pour la c) on peut considérer l'application
c'est évidemment un homomorphisme,son noyau sauf erreur est (X²+5).Z[X]
donc par le thm de factorisation,g induit un isomorphisme de Z[X]/(X²+5) dans A
pour e) comme A iso à Z[X]/(X²+5) et que A est integre,(X²+5) est premier,comme A n'est pa sun corps,(X²+5) n'est pas maximal.
pour d)je sais pas trop...peutetre par l'asurde ou en se servant de c)...
Je suis le fil de l'exercice(j'ai le meme!!) 
certes mais tu te compliques la vie pour rien.
lol, mais est-ce juste ?
Puis, je comprends pas un truc :
aie désolé pour le latex!!
A noetherien<=> tout idéal de A de type fini
(ie: I dans A noetherien donc il existe i1,..,in dans I tel que I=A.i1+...+A.in)
pour l'instant je vois pas trop,je réfléchis moi aussi de mno coté.
c'est évidemment un homomorphisme,son noyau sauf erreur est (X²+5).Z[X]
oui.
cependant, il faut le montrer, car a priori, le noyau est l'ensemble des polynômes à coefficients entiers divisibles par
Sinon, pour le reste c'est correct.
Kaiser
lol, mais est-ce juste ?
personnellement, je ne vois vraiment pas en quoi ce que tu as écris plus haut montre l'intégrité (pour appliquer ce que tu dis dans ton message de 21h03, il faut faire attention aux différents quantificateurs "il existe", "pour tout" et j'ai bien l'impression que c'est là où ça coince).
Puis, je comprends pas un truc :
est un corps, A est un sous-anneau de mais A n'est pas un corps !
un sous-anneau d'un anneau integre (en particulier d'un corps) est integre.
Kaiser
ah oué,c'est bien ce que j'étais en train de me dire...
comment fait-on le raporchment alors?
entre X-alpha et X²+5 ??
en fait l'astuce est la suivante :
si P est dans le noyau, on considère sa division euclidienne par X²+5.
P=Q(X²+5)+R avec R à coefficients entiers et de degré au plus 1.
ensuite, on évalue de chaque côté en remplaçant X par et on montre que l'on a nécessairement R=0 (en utilisant le fait que
est irrationnel).
Kaiser
Mais si on remplace par alpha,on a:
P(alpha)=R(alpha)
on applique g n'est ce pas?
vu que P est dans le noyau de g et que g est un homomorphisme on a forcément R(alpha)=0 non?
On choisit (ceci a un sens car f est à coefficient dans
)
Puis on choisit quelconque (donc
)
qui est dans A (c'est un sous-anneau).
donc on évalue en ,
pourtant f et g sont tous deux non nuls.
je met la suite (et pas encore la fin de ce fameux probleme d'algebre!!)
3)On pose
a)Montrer que tout élément non nul de est inversible.
b)Montrer que est le corps des fractions de A
4)Soit un idéal premier et non nul de
.
a)Montrer qu'il existe un nombre premier p tel que
b)On note l'homomorphisme de
dans
obtenu en composant l'injection canonique de
dans
avec la surjection canonique de sur
.
On note la surjection canonique de
dans
i/Montrer qu'il existe un unique homomorphisme d'anneaux de
dans
tel que
.Montrer que
est injectif.On identifie
et son image par
.
ii/Montrer que est un
-espace vectoriel de dimension infeieur ou égale à 2.
iii/Montrer que est un idéal maximal de
.
----------------------
pour 3)a) je trouve come inverse(vraiment pas sur)
.
voilà la suite de l'exercice...bref de quoi bien s'amuser un bon petit moment!!
Merci d'avance à ceux qui voudront nous aider!!
pour la 3) b) ça semble pas trop dure non plus...
Frac(A)=(Ax A\{0})/~
on voit que u+alpha.v c'est de la forme a+b.alpha du 2)b) sauf que la pour avoir les inverses,on se met dans Q d'ou u et v dans Q...
Ensuite on doit vérifier que (K,+,.) est un corps commutatif.
x dans K,y de meme;on a facilement x+y dans K,on amontré que tout élément non nul est inversible,1 et 0 est dedans
xy=(uu'+alpha²vv')+alpha(uv'+u'v) est clairement dans K
donc K est un corps.
La commutativité doit etre évidente...
pour la 4)a) je vois pas du tout par contre?
je suis de retour !
H_aldnoer > pour ton message de 21h38, c'est faux : f(X) n'est pas un élément de A et , donc il n'y pas de contradiction.
robby > pour la 3)a), il faut vérifier que cet inverse est bien dans K donc qu'il s'écrit bien .
Kaiser
Pour la 3)b)
La commutativité doit etre évidente...
oui, car il est inclus dans un corps qui est commutatif (il suffit simplement de montre que c'est un sous-corps de
Kaiser
Pourquoi donc f(X) n'est pas élément de A ?
f(X) est un polynôme et A est inclus dans
Kaiser
Bon lol il me reste plus qu'à montrer que :
un sous-anneau d'un anneau integre est integre.
si A=l'anneau et B=le sous-anneau a-t-on B inclus dans A ?
RE!!
Pour la 3)b) ok!
pour la 3)a)
en fait je comprend pas trop leur question??
pour moi x dans K, ilexiste u et v dans Q tel que x=u+alpha.v
on cherche y dans K tel que x.y=1
ou y s'écrit u'+alpha.v'
x.y=uv'+alpha²vv'+alpha(uv'+u'v)=1
aprés bah je vois pas skon fait?
un sous-anneau d'un anneau integre est integre.
ce n'est pas la peine.
ceci est évident (et dans ton cours, qui plus est).
Kaiser
bon c'est immédiat alors non ?
pour tout x,y dans B (le sous-anneau de A), x,y dans A.
Or A intègre alors on a xy=0 implique x=0 ou y=0
Au final, pour tout x,y dans B on a bien xy=0 implique x=0 ou y=0
robby > ben, tu sais que l'on a .
Sinon, rien ne t'empêche d'écrire et de multiplier en bas et en haut pas le conjugué du dénominateur (en remarquant que
.
Kaiser
On suppose que A est un corps,
soit f dans A non nul : par exemple f=Id.
Alors il existe g dans A tel que fg=1 cad f(x)g(x)=1 pour tout x; en particulier pour x=a, f(a)g(a)=1.
Ici f(a)=Id(a)=a qui est un complexe.
On sait que l'inverse de a complexe, est .
Mais il n'existe pas de g dans tel que
, ce qui est absurde.
A n'est pas un corps.
ou l'inverse d'un complexe est toujours un complexe(enfin je crois bien lol) et les complexes ne sont pas dans A.
robby > oui.
Comme dit plus haut, tu peux remplacer par -5.
ça sera encore plus visible.
H_aldnoer > tu vas un peu vite vers la fin. pourquoi un tel polynôme n'existe pas.
Kaiser
non, robby, ce que tu as fais plus haut est correct.
Il ne faut rien dire de plus.
>>
non mais j'ajoutais juste quelque chose au post de H de 23:39
pour la 4)a) une idée??
pZ c'est l'idéal de z engendré par p premier?
en effet kaiser, à bien y réfléchir je vois pas de justification exacte à cette affirmation !
(pour mon poste de 23:35 je répondais à robby son poste de 23:33 !)
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