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On sait que A/P est un groupe additif??
d'ou ça sort ce truc??
pour définir la loi externe,on se sert de q...
q:Z/pZ->A/P
qui à s(x) associe a/p a dans a,p dans P
je crois qu'il faut que j'aile revoir c'est quoi une loi externe sinon je vais pas m'en sortir!
On sait que A/P est un groupe additif??
d'ou ça sort ce truc??
P est un idéal de A donc A/P est un anneau donc un groupe commutatif pour la loi +.
pour définir la loi externe,on se sert de q...
q:Z/pZ->A/P
qui à s(x) associe a/p a dans a,p dans P
si on note . la loi externe, il faut dire ce que vaut k.x si k est dans Z/pZ et x dans A/P.
et oui, il faudra utiliser q.
Kaiser
ahh ok!
les éléments de Z/pZ sont les s(x) ou x dans Z
les éléments de A/P sont les q(s(x))
on a donc une loi . qui doit faire ceci:
s(x).q(s(x))->q(s(x))
cad de maniere générale x.y=y...je sais pas si ça veut dire quelque chose mais j'ai du mal avec ce truc..
les éléments de A/P sont les q(s(x))
non, puisque f n'est pas surjective.
l'opération la plus naturelle est la suivante.
Si x est dans A/P et k dans Z/PZ, alors on pose k.x=q(k)x.
vérifie que ça marche bien en posant ça.
Je dis "naturelle" car intuitivement, une loi externe est dans la pratique toujours définie comme un produit. Ici, comme précisé dans l'énoncé, on identifie Z/pZ à son image par Q. On est donc tenté d'écrire la loi externe en disant que k.x c'est le produit de k par x. ce produit n'est pas bien défini car x et k ne vivent pas dans le même ensemble. La seule manière de bien le définir c'est donc décrire q(k)x, ce qui est parfaitement défini car q(k) et x sont tous les deux dans A/P.
Kaiser
Salut robby et Kaizer 
(je te salue avant que tu n'ailles te coucher aujourd'hui, t'as vu? 
Je progresse!)
H_aldnoer > pour ton message de 1h05 : non, on n'a affaire qu'à des entiers.
Avant de revenir sur cela, je comprend pas pourquoi
H_aldnoer >
je redonnerai la même réponse : A est un ensemble de complexes et f(X) est un polynôme.
Kaiser
Bon ok :
2 est dans A, ok.
1/2 est-il dans A ?
on pose
donc :
d'ou ce qui est absurde car
et
sont entiers
humm
je note ça dans un coin,ça pourrait servir autrepart...
Je met donc la suite et fin de l'exo:
5)Soit un nombre premier.On considere l'idéal
de
.
a)Montrer que est un idéal premier de
ssi
est un idéal premier de Z[X](on pourra utiliser 2)c) )
b)On note l'application de
dans
définie par
pour tout entier
et
.Montrer en utilisant
que
est un idéal premier de
ssi
est un idéal premier de
c)On suppose .On note
la clase de
dans
.Montrer que
est un diviseur de 0 non nul de cet anneau.
En déduire que n'est pas un idéal premier de
.
oui
Tu remarqueras que tu sais ce que valent les puissances de : pour k pair, c'est un entier et pour k impair, c'est un imaginaire pur.
du coup, la partie réelle est bel et bien un entier.
Kaiser
oui pardon
justement on me dit uriliser 2)c)
donc on sait que A iso à Z[X]/(X²+5).
on a pA idéal premier de A ( donc A/pA integre)
en fait le probleme c'est que je n'arrive ni d'un coté ni de l'autre!
2-c)
On considère donc l'application :
c'est un homomorphisme d'anneau (est-ce la propriété universelle des polynômes qui justifie ?)
On utilise le théorème de factorisation canonique (suffit-il juste d'avoir un homomorphisme d'anneau ?) :
soit dans
(c'est bien l'idéal engendré par
que signifie cette notation ?) :
alors il existe un polynome q dans tel que
.
d'ou soit
donc
dans
on a montré que
soit dans
:
donc
(d'après 2-a)
d'ou soit
ce qui implique que
d'ou et
on a montré que
On a l'égalité par double inclusion.
Par le théorème est isomorphe à
Il reste à montrer que , c'est le cas si g est surjective : mais je vois pas pourquoi!
(au fait pourquoi aprés avoir trouver la loi de compo externe on peut affirmer que A/P est Z/pZ ev de dimension inferieur ou égale à 2??)
Sinon Z[X]/Ip ça serait pas un Z/pZ espace vectoriel de dimension inferieur ou égale à 2??
Ou bien sinon on refait un dessin de factorisation d'isomorphisme...
on définit g de Z[X] dans A/pA puis s surjection canonique de Z[X] dans Z[X]/Ip
on vérifie que Ker(s)=Ip est inclus dans Ker(g)=p.A
ce qui parait assez "normal"...quoique je suis pas sur de moi du tout!!!
Si j'en crois mes souvenirs peu lointain Z[X] est principal non?
donc Ip=d.Z[X] faudrait alors montrer que d.Z[X] inclus dans p.A
pour pouvoir appliquer le thm de factorisation...
g est surjective : mais je vois pas pourquoi!
g est surjective par définition de A.
(au fait pourquoi aprés avoir trouver la loi de compo externe on peut affirmer que A/P est Z/pZ ev de dimension inferieur ou égale à 2??)
parce que A/P est engendré par deux éléments : la classe de 1 et la classe de
Si j'en crois mes souvenirs peu lointain Z[X] est principal non?
non.
si tu considères I l'idéal engendré par X et 2, tu remarqueras que I ne peut pas être engendré par un seul élément.
Kaiser
La propriétés universelle des polynômes nous permet de dire que g est surjective et que g est un homomorphisme ?
Ok Kaiser!
Sinon pour montrer que A/pA est iso à Z[X]/Ip,mise à part l'idée du thm de factorisation,je ne vois pas...
Comment montrer que Ip est inclus dans p.A??
Voila ce qui à écrit pour la propriété universelle :
Soit un homomorphisme d'anneaux, soit
.
Fixons n éléments .
Alors il existe un unique homomorphisme d'anneaux d'anneaux tel que
pour tout
et que
pour tout
c'est ceci que l'on utilise ?
Comment montrer que Ip est inclus dans p.A??
ça n'a pas de sens : Ip est un ensemble de polynômes et pA est un ensemble de complexes.
H_aldnoer > oui, ça te dit qu'il existe un unique homomorphisme de l'anneau de polynôme dans B mais il existe des applications (qui ne sont pas des homomorphismes) qui vérifient les mêmes choses que cet homomorphisme.
Kaiser
Bon je crois que je vais vous laisser,je pense que je vais pas avancer ce soir!!
je vois pas du tout donc je verrais ceci plus tard.
A demain sans doute.
non, ce désignerait plutôt l'injection canonique de
dans A (où A est le A de l'énoncé, pas celui de la propriété universelle).
Sinon, ce n'est pas bien méchant de montrer directement que g est un homomorphisme d'anneaux.
J'arrive en effet à montrer directement que c'est un homomorphisme d'anneaux, mais c'est pour comprendre la proposition de 22:59 en fait.
J'ai pas trop compris avec l'injection canonique !
J'ai la proposition de 22:59, dans cet exercice qui est quoi ?
Bon meme aprés une ultime tentative,je trouve pas.
Bonne nuit à tout les deux.
Merci Kaiser!
Je reviendrais demain soir ou ce Week end pour finir cet exercice!
J'ai la proposition de 22:59, dans cet exercice qui est quoi ?
on a :
n=1
A de la proposition=
B=A de l'énoncé
robby > bonne nuit, je ne vais pas tarder non plus à y aller !
Kaiser
H_aldnoer > cette propriété te dit qu'un tel homomorphisme est entièrement déterminé par la donnée des images des éléments de A et des images des indéterminées.
Kaiser
Tu parle d'injection canonique :
dans la cours c'est marqué,
on a toujours un homomorphisme injectif qui envoie
sur le polynôme "constant" a
c'est pareil ?
c'est un cas particulier d'injection canonique.
Plus généralement, si on a A et B deux anneaux avec A inclus dans B, alors on a une injection (dite canonique) de A dans B qui à un élément a de A associe l'élément a de B.
Kaiser
donc l'injection canonique, au même titre que la surjection canonique, est toujours un homomorphisme ?
oui (mais de manière beaucoup plus évidente car l'injection canonique, c'est à peu de choses près l'identité).
Kaiser
Ok, merci pour toutes ces précisions.
Cette rédaction est-elle correcte ?
Soit l'injection canonique.
On sait qu'il existe un unique homomorphisme d'anneaux
donc du coup on a même pas besoin de vérifier que c'est un homomorphisme d'anneaux ?
il existe un unique homomorphisme d'anneaux vérifiant cette propriété, certes, mais, encore une fois, il n'existe pas qu'une seule application vérifiant cette propriété (il en existe même une infinité).
Bref, ça ne te dit pas qu'une application vérifiant les propriétés est un homomorphisme.
Kaiser
Mince j'ai pas utilisé le fait que !
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