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Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 21:49

soit x dans J :
1/ \pi(x)\in I
2/ il existe a_1,...,a_n\in\mathbb{Z}[X] tel que x=P_1a_1+...+P_na_n

alors \pi(x)=\pi(P_1)\pi(a_1)+...+\pi(P_n)\pi(a_n)\in I
on note que \pi(a_i)\in B et par suite I est de type fini engendré par \pi(P_1),..,\pi(P_n) donc noethérien.

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 21:55

alors, presque : il faut montrer que l'on attrape tous les éléments de I : en d'autres termes, pourquoi a-t-on \Large{\pi(\pi^{-1}(I))=I} ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 21:58

robby > non, tu ne peux encore rien dire.
il faut utiliser la première égalité de mon message de 19h40

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 22:05

Soit x dans \pi(\pi^{-1}(I)) alors il existe un y\in\pi^{-1}(I) tel que x=\pi(y)
Si y\in\pi^{-1}(I) alors \pi(y)\in I d'ou x=\pi(y)\in I

On montre ainsi \pi(\pi^{-1}(I)) \subset I.

Je refléchis à l'autre sens.

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 22:22

j'ai trop de mal pour l'autre inclusion!

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 22:25

L'image réciproque coincide avec l'application si il y a une bijection A et B ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 22:27

non. En fait, l'inclusion inverse est vraie car \Large{\pi} est surjective.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 22:31

Mais je saisi pas :
\pi surjective cad pour tout élément y\in B il existe un élément x\in A tel que y=\pi(x) (toujours avec A=\mathbb{Z}[X] et B=\mathbb{Z}[X]/(X^2+5))

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 22:36

Ici on se donne un i\in I et on veut montrer que i\in \pi(\pi^{-1}(I)) : comment utiliser la surjectivité de 22:31 ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 22:59

i est dans I. La surjectivité de \Large{\pi} implique l'existence d'un polynôme Q tel que \Large{i=\pi(Q)}.
Donc \Large{Q\in \pi^{-1}(I)}, donc \Large{i=\pi(Q)\in \pi(\pi^{-1}(I))}.

Kaiser

Posté par
robby3re : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 23:14

Re,
je m'étais absenté.

Tu veux que j'utilise \tilde{\pi}og=\pi
??

Sachant qu'on a \tilde{\pi}(x')=0
sachant que je peux pas marquer g^{-1}
??
>>je vois pas ou aller là?!!

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 23:17

x' est dans A donc il s'écrit g de quelqu'un.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 23:21

je suppose que le Q dont tu parle dans ton message de 22:59 est dans A=\mathbb{Z}[X] ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 23:21

H_aldnoer > oui

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 23:23

Mais la surjectivité nous est donné pour tout élément de B.
Ici on s'est donné un élément dans I!

Posté par
robby3re : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 23:24

oui x'\in A donc il existe x'' tel que x'=g(x'')
donc \tilde{\pi}(x')=\tilde{\pi}(g(x''))=\pi(x'')
jusque là c'est bon?

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 23:27

H_aldnoer > oui, mais I est bien inclus dans B, non ?
robby > oui

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 23:28

Citation :
H_aldnoer > oui, mais I est bien inclus dans B, non ?

Justement la ça prendrai tout son sens;
mais je n'arrive pas à voir pourquoi!

I est un idéal de B donc BI inclus dans I non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 23:28

P.S : robby > il semblerait que \LaTeX n'aime pas trop les guillemets " (la prochaine fois utilise plutôt 2 fois le symbole "apostrophe")

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 23:30

H_aldnoer > I est un idéal de B donc par définition I est inclus dans B ( car I doit être en particulier un sous-groupe de B).

Kaiser

Posté par
robby3re : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 23:31

ok et avec ce \pi(x'') je fais quoi?
parce que là je suis bloqué il apparait plus nulle part \pi!!

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 23:31

Ahhhhh !

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 23:34

robby > tu sais quand même que \Large{\tilde{\pi}(x')=0}
H_aldnoer > eh oui, comme tu dis !

Kaiser

Posté par
robby3re : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 23:37

oui oui non mais je suis d'accord,d'ailleurs je l'avais mis sur mon brouillon mais j'ai pas recopié!

on a donc \pi(x'')=0 certes!

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 23:39

donc x" est dans le noyau de \Large{\pi}. Quel est ce noyau ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 23:47

\rm Ker(\pi)=\{x'' \in Z[X] tq \pi(x'')=0\}
on voit par là que x'' est un polynome à coefficients dans Z...et mon probleme justement c'est d'exprimer ce \pi(x'') dans Z[X]/I_p

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 23:50

plus précisément, ce noyau est celui de la surjection canonique \Large{\mathbb{Z}[X]\mapsto \mathbb{Z}[X]/(X^{2}+5)}

donc pourrais-tu me dire plus précisément quel est ce noyau ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 23:55

Bon j'ai refait la démo sur mon papier :

On veut montrer que \mathbb{Z}[X]/(X^2+5) est noethérien cad tout idéal I est de type fini.

On note la surjection canonique \pi:\mathbb{Z}[X]\to \mathbb{Z}[X]/(X^2+5)

1/ si I est un idéal de \mathbb{Z}[X]/(X^2+5) alors \pi^{-1}(I) est un idéal de \mathbb{Z}[X]
2/ \mathbb{Z}[X] est noethérien donc \pi^{-1}(I) est aussi noethérien
3/ \pi(\pi^{-1}(I))=I

On écrit \pi^{-1}(I)=P_1a_1+...+P_na_n avec P_i et a_i dans \mathbb{Z}[X]

Soit x\in I.
Donc x\in \pi(\pi^{-1}(I)) cad il existe y\in \pi^{-1}(I) tel que x=\pi(y)

on a y\in \pi^{-1}(I) implique que y=P_1a_1+...+P_na_n
puis x=\pi(P_1a_1+...+P_na_n)=\pi(P_1)\pi(a_1)+...+\pi(P_n)\pi(a_n)

quelque soit l'élément x de l'idéal, il existe un nombre fini de générateur \pi(P_1),...,\pi(P_n) donc l'idéal est de type fini.

Posté par
robby3re : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 23:55

mais on avait bien défini \pi de Z[X] dans Z[X]/I_p ???

sinon dans ton cas c'est (X^2+5)
!!!

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 13-10-07 à 00:10

H_aldnoer > remplace le 2) par :

\Large{\mathbb{Z}[X]} est noetherien donc \Large{\pi^{-1}(I)} est de type fini

Sinon, pour la suite, j'ai compris ce que tu as fais mais il faut essayer d'être un peu plus rigoureux et un peu plus cohérent avec les objets que tu manipules:

i) écris plutôt \Large{\pi^{-1}(I)=P_1\mathbb{Z}[X]+...+P_n\mathbb{Z}[X]}

ou bien \Large{\pi^{-1}(I)=\{\Bigsum_{i=1}^{n} P_iA_i,\; \forall 1\le i\le n, A_i \in \mathbb{Z}[X]\} }
(de la manière dont tu l'as écrit, on avait qu'un ensemble était égal à un élément)

ii)

Citation :
quelque soit l'élément x de l'idéal, il existe un nombre fini de générateur


C'est mal dit.
Il faudrait dire la chose suivante :

Comme \Large{\pi(\pi^{-1}(I))=I} et que \Large{P_1,...P_n} engendrent \Large{\pi^{-1}(I)}, alors \Large{\pi(P_1),...\pi(P_n) engendrent I, qui est alors de type fini.

robby > au temps pour moi, j'ai confondu avec le \Large{\pi} que j'avais défini avec H_aldnoer.
Je te pose donc la question suivante: quel est le noyau de la surjection canonique \Large{\mathbb{Z}[X]\mapsto%20\mathbb{Z}[X]/I_{p}} ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 13-10-07 à 00:14

Bah j'ai tout compris sur cette question! Merci bien chef!

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 13-10-07 à 00:15

Posté par
robby3re : Un problème d'algèbre complet (suite) 13-10-07 à 00:17

Ip !?

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 13-10-07 à 00:19

Au passage, le résultat que l'on vient de montrer se généralise facilement :

si A est un anneau tel que A[X] est noethérien et I est un idéal de A[X], alors A[X]/I est un anneau noetherien.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 13-10-07 à 00:21

robby > oui.
maintenant que tu sais que x" est dans Ip tu peux faire le chemin en sens inverse pour déduire que x=0.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 13-10-07 à 00:24

pour la 2) e-

On sait que l'idéal (X^2+5) est premier ssi \mathbb{Z}[X]/(X^2+5) est intègre. Or \mathbb{Z}[X]/(X^2+5) est isomorphe à A qui est intègre. Donc l'idéal en question est bien premier.

On sait que l'idéal (X^2+5) est maximal ssi \mathbb{Z}[X]/(X^2+5) est un corps. Or \mathbb{Z}[X]/(X^2+5) est isomorphe à A qui n'est pas un corps. Donc l'idéal en question n'est pas maximal.

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 13-10-07 à 00:26

oui.
Bon sur ce, je vais aller !
donc, bonne nuit à vous deux !

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 13-10-07 à 00:28

Okay chef kaizer, à demain pour de nouvelles péripéties algébrique!
merci encore!

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 13-10-07 à 00:30

Posté par
robby3re : Un problème d'algèbre complet (suite) 13-10-07 à 00:41

bon je sais pas si j'ai compris:
je part de x" dans Ip
donc x" est dans p.Z[X]+(X²+5).Z[X]
aprés je part ou ??

Posté par
robby3re : Un problème d'algèbre complet (suite) 13-10-07 à 00:44

si on prefere x"=p.P(X)+(X²+5).Q(X)

Posté par
robby3re : Un problème d'algèbre complet (suite) 13-10-07 à 00:49

ahh bon ok
bonne nuit alors!
moi demain j'espere finir cet exo mais j'ai un DM d'intégration!!
Et Kaiser dit toi que je pose pas mal de question en algebre là mais alors l'intégration=>
c'est AFFREUX!!
vu que j'y comprend rien,j'espere que tu pourra m'aider!!

Posté par
robby3re : Un problème d'algèbre complet (suite) 13-10-07 à 12:27

Re,
pour la 5)b)

sauf erreur tp est l'application identité:
tp(X)=X donc c'est clairement un homomorphisme injectif et surjectif sauf erreur donc un isomorphisme de Z[X] dans F_p[X]
aprés je sais pas comment continuer...

pour la 5)a) toujours pareil!

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 13-10-07 à 12:34

J'ai pas compris pourquoi K=(AxA\{0})/~

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 13-10-07 à 12:40

En clair je comprend pas comment écrire un élément de (AxA\{0})/~

Posté par
robby3re : Un problème d'algèbre complet (suite) 13-10-07 à 12:51

bah tu le définis comment ton corps de fraction de maniere générale??

ici K={u+alpha.v avec u et v dans Q}

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 13-10-07 à 12:56

On a définit :
a,b\in A
a',b'\in A-\{0\}

la relation d'équivalence suivante
(a,b)R(a',b') ssi ab'=a'b.

Puis Cl(x,y)=\{(x',y')\,,\,(x,y)R(x',y')\} et après (AxA\{0})/~=\{Cl(x,y)\}

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 13-10-07 à 13:09

salut

robby > ensuite, tu remontes : tu sais que x'=g(x") et x=h(x').

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 13-10-07 à 13:11

salut kaiser,
tu peux me dire comment on écrit un élément de (AxA\{0})/~ ?

ça fait 20min que je tourne en rond !

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 13-10-07 à 13:15

En général, un élément du corps des fractions de met formellement sous la forme \Large{\frac{x}{y}} avec x et y dans l'anneau.
ici, cette notation formelle a du sens car l'anneau A est inclus dans un corps (\Large{\mathbb{C}}).
Du coup, ça a du sens et elle est équivalente à la définition donnée par robby (voir son message de 12h51).

Kaiser

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