robby > non, ce n'est pas l'application identité, et ce n'est pas non plus injectif (le noyau est constitué des polynômes dont les coefficients sont divisibles par P).
Mais c'est bien un homomorphisme surjectif.

Kaiser

H_aldnoer > c'est immédiat : il suffit de réduire le tout au même dénominateur.

Kaiser

Donc on écrit :



on a

de manière générale pour montrer qu'un élément est dans (AxA\{0})/~ on l'écrit sous forme de quotient dont le dénominateur ne s'annule pas ?

oui

il ne faut pas vérifier que maintenant si on prend un élément de Frac(A), il est dans K ?

si

Kaiser

soit donc

alors avec et

j'arrive pas à faire le lien avec

utilise le fait que .

Kaiser

On veut montrer qu'il existe u et v dans tel que

on élève au carré ?

ok donc j'ai ça:
x''\in Ker(\pi)=I_p

x''=p.P+(X^2+5).Q sachant que g(x'')=x' =>g(p.P+(X^2+5).Q)=x'=p.g(P)+g(X^2+5).g(Q)

puis comme h(x')=x on a:

h(p.g(P)+g(X^2+5).g(Q))=x=p.h(g(P))+h(g(X^2+5).g(Q))

euhh je suis pas sur du tout que ça m'amene au bon endroit ça!

non, on multiplie en haut et en bas par le conjugué du dénominateur.

Remarque : ces questions, je les ai déjà traitées avec robby (jette un oeil à l'autre topic et s'il y a un problème, n'hésite pas à m'en faire part).

Kaiser

robby > ça se simplifie (n'oublie pas ce que désigne g et h).

Kaiser

Oui j'ai déjà vu ceci pour montrer que tout élément non nul de K est inversible.
Mais ici c'est pas différent ?

le dénominateur c'est quoi?
c'est bien y qui est dans A non ?

on est d'accord que h:A->A/pA et g:Z[X]->A

donc h(p.g(P))=0 car p est dans p.A
mais
et h(0)=0 ??

désolé j'ai pas relu [?]= ^2

robby > ben oui tout bêtement et donc x=0, d'où l'injectivité recherchée.

Kaiser

c'est rectifié !

Bon OK!!

Donc on amontré ques ces deux trucs étaient isomorphes!
isomorphe à
Donc si est un idéal premier de , est integre donc est integre donc premier de et inversement.

question5)b)

s'agit-il du meme principe?
faut-il que je montre que est isomoprhe à ??
le tout en se servant de ?

on écrit alors et on cherche ?

H_aldnoer > je n'ai pas compris ta question.

Kaiser

on veut écrire sous la forme .
on doit calculer non ?

robby > pas la peine.
Remarque que .

Kaiser

H_aldnoer > OK, j'avais pas compris.

Sinon il y a une écriture plus simple pour y, d'après la question 2)b).

Kaiser

ah bah je le remarque pas

ou et sont dans

alors que pour moi

je me trompe ou ça?

Ahhhhh!

H_aldnoer,je l'aurais pas déjà faite cette question?
Kaiser il fait deux fois le boulot
une fois pour moi et une pour toi!
il se dédouble!

robby > non, l'image de p par cette application est nulle.
cette application n'est pas égale à l'identité.

De plus, ta dernière égalité est fausse (les parenthèses sont au mauvais endroit).

H_aldnoer > oui

Kaiser

On doit toujours vérifier ensuite que K est un corps ?
On a montré K=Frac(A), on sait que Frac(A) est un corps commutatif, donc il faut vérifier que K est aussi un corps commutatif c'est bien cela ?

s'il y a égalité, ce n'est pas la peine de vérifier que K est un corps commutatif.

Kaiser

Ok.

ah oui efectivement!
donc ok on a
mais je vois pas en quoi ça nous sert.

ici on va traduire le fait que est premier par autre chose que le quotient?

en fait je vois pas comment me servir de ce pour répondre à la question!

cette application va nous permettre de faire le lien entre les deux idéaux en revenant à la définition d'un idéal premier.

Kaiser

Bon, je dois m'absenter.
Je reviendrai dans la soirée, à peu près.

Kaiser

J'essaye de montrer que est un sous-groupe de , je bloque sur :



implique

Ok kaiser !

A tte!

Ok à ce soir!

Ok revenons à la définition:

I idéal premier de A ssi pour tout x,y dans A,x.y dans I=> x ou y est dans I.

donc ici:

Ip est un idéal premier de Z[X] ssi pour tout P,Q dans Z[X],P.Q dans Ip=>P ou q dans Ip

X²+5 idéal premier de Fp[X]ssi pour tout s(x),s(y) dans Fp[X],s(x).s(y)=tp(xy) dans X²+5=> tp(x) ou tp(y) dans X²+5
voilà.

je suis de retour

H_aldnoer > réfléchis deux secondes : la réponse est évidente
robby > raisonne par double implication.
Suppose que est un idéal premier de Z[X] et montre que (X²+5) est un idéal premier de Fp[X] (en utilisant la fameuse application).

Kaiser

Re!

Donc P est un idéal de A, c'est donc un sous-groupe additif :
x est dans P
y est dans P

implique x-y dans P

?

oui, tout bêtement.
En fait, tu n'as pas besoin de faire ça : utilise tout de suite que c'est une intersection de sous-groupes donc c'est un sous-groupe.

Kaiser

Ok c'est bien noté!
Bon ensuite j'ai bien compris pourquoi p est premier (par l'absurde).

Ensuite,
un homomorphisme.
la surjection canonique.

idéal de (je suppose que c'est un résultat connu?)

Si on applique le théorème de factorisation qui nous dit que il existe un unique homomorphisme d'anneaux tel que .

Le problème c'est que je ne comprend pas pourquoi ?

le noyau de f ça ne peut pas forcément être P tout entier : c'est seulement .

Kaiser

on a

comment montre-t-on que quand on ne connait pas l'expression de f ?

ben si on la connait : ça prend un entier n (l'injection canonique est un peu loà pour faire joli) et ça donne sa classe modulo P.
Bref, ça te dit que le noyau est l'ensemble des entiers qui sont dans le noyau de la projection canonique (ce dernier noyau étant égal à P), donc le noyau de f est bien .

Kaiser

Non j'ai pas compris.

la surjection canonique.

On prend donc un élément x de l'anneau A, et on lui associe sa congruence modulo I (I étant un idéal de A) : s(x)=... ?

Je comprend pas cette application je crois;
on a bien : ssi (c'est bien une relation d'équivalence).

On définit

on a s(x)=x+i pour i dans I ?

Re,
est un idéal premier de est integre<=>pour tout dans dans ou dans


là on est d'accord?

si on applique à on a ou qui est dans .

édit Océane : suite -> Un probleme d'algebre complet(suite 2)