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Un problème d'algèbre complet (suite)

Posté par
H_aldnoer 12-10-07 à 00:05

La suite de ce topic Un problème d'algèbre complet

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 00:06

Ok, mais alors je saisi pas trop l'utilité de cette proposition alors !

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 00:09

ici, elle ne sert strictement à rien.
Mais elle sert ailleurs, dans un autre contexte.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 00:11

Ok, c'est toujours bon de la connaitre !

Est-ce que tu peux relire ce que j'ai écrit à 21:36 Un problème d'algèbre complet quand j'applique le théorème de factorisation

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 00:17

Citation :
suffit-il juste d'avoir un homomorphisme d'anneau ?


oui.

Citation :
c'est bien l'idéal engendré par X²+5 que signifie cette notation ?)
:


oui, c'est exactement ce que ça veut dire.

Citation :
ce qui implique que aX+b=0


ce passage est un peu rapide.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 00:23

g(a+bX)=a+b\alpha=0

supposons que b est différent de 0, \alpha=-\frac{a}{b} absurde car \alpha\in\mathbb{C}


donc b est nul, g(a+bX)=g(a)=0 implique a=0, puis, f=(X^2+5)q+a+bX=(X^2+5)q et on conclut.

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 00:28

Citation :
absurde car \alpha\in\mathbb{C}


plutôt parce qu'il n'est pas réel.

Sinon, c'est OK.
Bon, sur ce, je vais , donc bonne nuit !

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 00:31

Ok chef!

bonne nuit!
A demain surement !!

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 00:32

@+

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 17:45

Bonjour!

alors poursuivons :
on a montré Ker(g)=(X^2+5) ou g: \mathbb{Z}[X]\to A est un homomorphisme d'anneaux.

On applique le théorème de factorisation, on obtient que \mathbb{Z}[X]/Ker(g)=\mathbb{Z}[X]/(X^2+5) est isomorphe à Im(g)

g surjectif ?
soit h dans A, alors il existe f dans \mathbb{Z}[X] tel que h=f(\alpha);
or f(\alpha)=g(f) donc il existe un f dans \mathbb{Z}[X] tel que h=g(f) d'ou la surjectivité d'ou Im(g)=A d'ou  \mathbb{Z}[X]/(X^2+5)\simeq A

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 18:23

oui

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 18:31

Pour le 2)-d je n'ai aucune idée

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 18:44

soit I un idéal de \Large{\mathbb{Z}[X]/(X^{2}+5)}.

Posons \Large{\pi} la projection canonique de \Large{\mathbb{Z}[X]} dans \Large{\mathbb{Z}[X]/(X^{2}+5)}.

Que peux-tu dire de \Large{\pi^{-1}(I)} ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 18:46

Re Kaiser!
bon j'ai peut etre un truc pour 5)a)

on fait intervenir la projection canonique \pi \, : \, Z[X] \to Z[X]/I_p.
on en déduit un morphisme surjectif:
\tilde{\pi} \, : \, A \to Z[X]/I_p.

on en déduit un morphsime surjectif:
\hat{\pi} \, : \, A/pA \to Z[X]/I_p

j'ai vu ça dans un bouqin et ça m'a été confirmé de source sur mais faut que je sache ce que vaut

\pi(X^2+5)
\tilde{\pi}(p.A)
et enfin le noyau de \hat{\pi}

je dirais sans conviction que \pi(X^2+5)=0
je maitrise pas bien la manipulation de ces projections puis des morphisme surjectif qui en découlent...

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 18:54

\pi^{-1}(I)=\{f\in\mathbb{Z}[X]\,, \pi(f)\in I\}

I est un idéal de \mathbb{Z}[x]/(X^2+5) donc hI\subset I (ou h est un élément de \mathbb{Z}[x]/(X^2+5))

\pi(f) c'est un élément de \mathbb{Z}[x]/(X^2+5) et de I

on a alors \pi^{-1}(I)=I ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 18:54

les deux images sont nulles :

pour X²+5, ce dernier est dans \Large{I_p}.
Pour calculer l'image de p.A, il faut s'intéresser à un certain diagramme commutatif (afin de savoir quelle relation ces morphismes surjectifs vérifient).

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 18:56

H_aldnoer > non, ça n'a pas de sens I et son image réciproque ne vivent pas dans le même ensemble.
Ma question était plutôt : quelle structure algébrique possède \Large{\pi^{-1}(I)} ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 18:57

C'est l'image réciproque d'un idéal, c'est un idéal ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 18:58

oui.
donc un idéal de \Large{\mathbb{Z}[X]}, donc ...

Kaiser

Posté par
robby3re : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 19:29

justement Kaiser,je ne vois pas quelle est la relation entre tout ces trucs là!!
Bref je suis bloqué!

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 19:40

Pour la première, je pense que c'est \Large{\tilde{\pi}og=\pi} (où g est l'application du message de 17h45 de H_aldnoer).

Pour la deuxième, je pense que c'est \Large{\widehat{\pi}oh=\tilde{\pi}} (où h est la projection canonique de A sur A/P).
En tous cas, ça me paraît cohérent.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 20:04

C'est moi ou l'ile à eut un bug? (j'pouvais plus me connecter!)

Bref, je comprend pas pourquoi c'est un idéal de \mathbb{Z}[X] ?

Posté par
robby3re : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 20:05

Kaiser, meme avec toutes ces indications,je ne comprend pas comment répondre à la question:

on va avoir pi(chapeau) qui va etre un isomorphisme.
Mais si on remplace A par Z[X]/(X²+5)
la question revient à montrer que Fp est isomorphe à Z[X]/Ip...et là ??

Posté par
robby3re : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 20:05

(non c'est l'ile!)

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 20:12

H_aldnoer > tu l'as dis toi même : c'est un idéal.
En plus, il est inclus dans Z[X], donc je ne vois pas où est le problème.

robby >

Citation :
la question revient à montrer que Fp est isomorphe à Z[X]/Ip.


pourquoi Fp ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 20:15

On a pris I un idéal de \mathbb{Z}[X]/(X^{2}+5) non ?

Posté par
robby3re : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 20:15

le noyau de pi(chapeau) ne serait ce pas Ip??

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 20:17

H_aldnoer > oui, mais \Large{\pi^{-1}(I)} est un idéal de Z[X].

Kaiser

Posté par
robby3re : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 20:17

A/p.A iso (Z[X]/(X²+5))/(p.(Z[X]/(X²+5)))=Z[X]/p.Z[X] sauf erreur.("quotient itérés")
non?

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 20:31

Citation :
le noyau de pi(chapeau) ne serait ce pas Ip??


non. En fait, il est réduit à 0.


Citation :
A/p.A iso (Z[X]/(X²+5))/(p.(Z[X]/(X²+5)))=Z[X]/p.Z[X] sauf erreur.("quotient itérés")
non?


il faut faire attention : \Large{p.(Z[X]/(X^2+5)} n'est pas la même chose que \Large{((pZ[X])/(X^2+5)}.

En fait, la deuxième écriture n'a pas de sens car (X²+5) n'est pas inclus dans pZ[X].

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 20:34

Mais c'est cela que je comprend, on écrit :
soit I un idéal de \mathbb{Z}[X]/(X^{2}+5)

comment de cela on déduit que \pi^{-1}(I) est un idéal de \mathbb{Z}[X] ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 20:41

Dans ce cas, il faut que tu m'expliques ceci :

Citation :
C'est l'image réciproque d'un idéal, c'est un idéal ?


tu semblais être d'accord avec ça dans ce message.

Sinon, ça se démontre facilement :

Tout d'abord, comme I est un groupe pour la loi +; alors \Large{\pi^{-1}(I)} est ou groupe pour la loi +, comme image réciproque d'un groupe.
soit A dans \Large{\pi^{-1}(I)} (donc \Large{\pi(A)\in I}) et B dans Z[X]
Alors \Large{\pi(AB)=\pi(A)\pi(B)}.

Mais I est un idéal et \Large{\pi(A)\in I} donc \Large{\pi(AB)=\pi(A)\pi(B)\in I}, donc \Large{AB \in \pi^{-1}(I)} et donc \Large{\pi^{-1}(I)} est un idéal.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 20:47

en faite je m'embrouille;

on prend I un idéal de \mathbb{Z}[X]/(X^{2}+5), on veut montrer I est idéal de \mathbb{Z}[X] ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 20:50

non

Je rappelle le but de la question :
la question c'est de montrer que \Large{\mathbb{Z}[X]/(X^{2}+5)} est noethérien donc on prend un idéal et on montre qu'il est de type fini.

On considère donc un idéal I de \Large{\mathbb{Z}[X]/(X^{2}+5)} et on montre que \Large{\pi^{-1}(I)} est un idéal de \Large{\mathbb{Z}[X]}.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 21:03

Ok j'essaye :

je pose J=\pi^{-1}(I) ou I est un idéal de B=\mathbb{Z}[X]/(X^2+5) : on a donc BI\subset I.

puis je pose A=\mathbb{Z}[X]

on veut montrer que AJ\subset J

soit a\in A et j\in J :
\pi(aj)=\pi(a)\pi(j)

or j\in J donc \pi(J)\in I
or a\in A donc \pi(a)\in B

d'ou \pi(aj)=\pi(a)\pi(j)\in I (car BI\subset I)
donc aj\in J

on a bien AJ\subset J cad \pi^{-1}(I) idéal de \mathbb{Z}[X].

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 21:04

oui

Posté par
robby3re : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 21:07

Citation :
En fait, il est réduit à 0.

>>...?? comment le montre t-on??

je résoud donc ma question avec pi(chapo)??
j'aurais montré que cette application est un isomorphisme.
d'ou le résultat annoncé.

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 21:07

Pourquoi I est de type fini alors ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 21:11

robby > oui, ça se montre grâce aux relations de mon message de 19h40.
tu prends y dans le noyau et tu montres qu'il est nul (bien sûr, ce n'est pas immédiat mais ça se fait).

H_aldnoer > utilise ce que l'on vient de faire : il faut bien que ça serve ça quelque chose.
indication : que sais-tu de \Large{\mathbb{Z}[X]} ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 21:19

\mathbb{Z}[X] est noethérien ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 21:21

oui.
plus généralement, tu as du voir que si A est un anneau noethérien, alors A[X]
est noethérien.
Ici, ça marche car \Large{\mathbb{Z}} est noethérien (car principal).

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 21:21

donc ...

Posté par
robby3re : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 21:23

(Kaiser,pour H_aldoner,Cassou il nous a dit A principal=> a noetherien mais la réciproque non notamment à cause de Z[X]... )

Kaiser,justement,
on a \rm Ker(\hat{\pi})=\{x\in A/p.A tel que \tilde{\pi}(h^{-1}(x))=0\}

aprés c'est quoi l'étape suivante?
parce que h^{-1}(x) je le vois pas du tout déjà!!

c'est peut-etre pour ça que tu me dis de prendre y...

on a donc il existe un x dans A tel que h^{-1}(y)=x pour y dans A/P...

enfin ça change pas le fait que je sais pas comment avancer?!

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 21:24

l'idéal J=\pi^{-1}(I) est de type fini

Posté par
robby3re : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 21:26

(euhh autant pour moi pour l'indication je me suis emmelé les pinceaux!!)

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 21:28

robby > j'avais dis que ce n'était pas immédiat : il faut y aller calmement, sinon tu vas t'embrouiller.

Soit x dans le noyau de \Large{\widehat{\pi}}.
En particulier, x est dans A/pA, donc il s'écrit h(x') avec x' dans A.
donc on a \Large{\tilde{\pi}(x')=0}. Je te laisse continuer ...

Kaiser

P.S : N'écris pas \Large{h^{-1}}. Cela n'a pas de sens.

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 21:30

H_aldnoer > oui et donc (en notant \Large{P_1,..P_n} des générateurs de J) ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 21:36

J=P_1a_1+...+P_na_n ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 21:39

euh ... plutôt \Large{J=P_1\mathbb{Z}[X]+....+P_n\mathbb{Z}[X]}.

Et donc que peux-tu dire de I ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Un problème d'algèbre complet (suite) 12-10-07 à 21:47

Ok:

>>Soit x\in Ker(\hat{\pi}):

   x\in \frac{A}{p.A} donx il existe \rm x'\in A tel que x=h(x').

on a donc \tilde{\pi}(x')=0<=> (\hat{\pi}oh)(x')=0<=>\hat{\pi}(x)=0   =>x=0???

=> j'ai rien fait!!

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