attend je reprend mes esprits
donc: AB dans Ip comme Ip est premier(hypothese) A ou B est dans Ip donc Q est dans Ip??
euhh là ça n'avance pas

bon je reprend:
P*.P** dans Ip,
Ip premier donc P* ou P** est dans Ip

C'est bien ça, et donc ?

Kaiser

pour .

On a car pour tout élément de A, il existe un unique couple tel que

on a donc que x est combinaison linéaire de 1 et , mais pour P ?

bah justement c'est la suite que je trouve pas...
tout ce qu'on avait avec P* et P** c'est que tp(P*)=A et tp(P**)=B

et là on sait que P* ou P** est dans Ip...

comment-ça pour P ?

par projection, on a que A/ P est engendré par les classes de 1 et de .

Kaiser

par exemple, supposons que P* est dans Ip, alors A=tp(P*) est dans ...

Kaiser

Quel projection ?

ah oué,je me souviens:
A est dans (X²+5).Fp[X]...si c'est l'autre c'est B qui est dedans donc (X²+5).Z[X] premier de Fp[X].
Ok?

projection canonique de A sur A/P

Kaiser

robby > eh oui ! ceci prouve donc que (X²+5)Fp[X] est un idéal premier.
Maintenant, essaie de faire l'autre sens, c'est du même tonneau.

Kaiser

Je ne comprend pas quel raisonnement tu utilise !
Je suis Ok que , que est la surjection canonique mais je ne vois vraiment pas pourquoi !

La notation vect n'est pas appropriée (car A n'est pas un espace vectoriel).
On voit que A est engendré en tant que Z/pZ espace vectoriel par la famille . cet espace vectoriel est possède donc une famille génératrice à deux éléments : sa dimension est donc nécessairement inférieure à 2.

Kaiser

A est engendré par non ?
A/P est  lui engendré par ?

H_aldnoer > oui

On suppose premier.

Soit .
Supposons que
Il faut montrer que ou est dans



il existe donc:
                

mais là probleme non?


là on va pas dire qu'il existe dans ...

Car si l'on prend , il existe tel que (surjectivité).

Or est engendré par (question 2)-b)

d'ou il existe a,b tel que
donc

robby > évite de confondre les éléments de Z[X] et les éléments de Fp[X]. TU vas t'emmêler les pinceaux (et surtout aboutir à des choses étranges).

Bref, ne dis pas que l'on a tp(S)=S
Utilise la propriété d'homomorphisme de tp : tp(S)=tp(A2)tp(B2).

ensuite ?

Kaiser

H_aldnoer > oui.
Il faut aussi préciser que les coefficients sont biens "dans" Z/pZ : il suffit pour cela de remarquer que (pour tout entier k).

Kaiser

bah justement!
A2 et B2 sont dans Ip donc n'existe t-il pas P2* et P2** dans Z[X]...??

non, tp est à valeurs dans Fp[X] donc A2 et B2 ne peuvent être dans l'image de cette application.

Kaiser

sinon, où est tp(S) ?

Kaiser

Dans la suite,
j'ai bien compris qu'il faut montrer que isomorphe à car ici p est premier. Donc est un corps, donc est un corps donc P est maximal.

Cependant je bloque sur l'isomorphisme.
On a bien un homomorphisme q injectif de dans .

Il reste à montrer la surjectivité, c'est cela ?

tp(S) est dans (X²+5).Fp[X] non?

H_aldnoer > justement, ça m'étonnerait qu'elle soit surjective et Z/pZ n'est pas forcément isomorphe à A/P.
Je me rends compte que je n'avais pas traité cette question avec robby.
Il faut remarquer plusieurs choses :
1) comme A/P est un Z/pZ espace vectoriel de dimension au plus 2, que peut-on
dire de son cardinal ?
2) Comme P est premier, que peut-on dire ?
3) en déduire que A/P est un corps.

robby > oui et donc

Kaiser

Donc  P*2 et P**2 sont dans (X²+5).Fp[X]?? c'est là que ça coincé?

je ne comprends pas tes notations : P*2 et P**2 ne sont pas sensés être dans Z[X] ?

Kaiser

bah il doit exister des trucs dans (X²+5).Fp[X]...que j'appelle P*2 et P**2,ou si tu  preferes
P*2=s(X).(X²+5) ou s(X) est dans Fp[X]...
NON??

déjà ?

robby > que vérifie ces polynômes ? je ne comprends pas.
H_aldnoer > non, pourquoi 2 ?

Kaiser

Ah oui je confond avec les notions de base peut être, la cardinal c'est le nombre d'élément d'une base non ?

non, ça c'est la dimension. Je parle du cardinal de l'ensemble A/P.

Kaiser

non mais je sais pas j'essayer de reprendre le modele précédent...mais visiblement je me suis perdu.

robby >

Tu sais que

1) tp(S)=tp(A2)tp(B2)
2) tp(S) est dans (X²+5)Fp[X] (car S est dans Ip).

donc ?

Kaiser

tp(A2)tp(B2) est dans (X²+5).Fp[X]?!

certes, mais encore ? (qu'a-ton supposé ?)

Kaiser

donc tp(A2) ou tp(B2) est dans (X²+5).Fp[X]
si c'est tp(A2) qui est dans (X²+5).Fp[X]...c'est là que j'ai un autre souci...
il existe donc s(X) dans Fp[X] tel que tp(A2-(X²+5).s(X))=0 non?

donc c'est supèrieur ou égale à 2 ?

robby > oui. après la c'est la même chose que tout à l'heure : A2-(X²+5)s(X) est dans le noyau de tp qui est ...
H_aldnoer > je voudrais une majoration du cardinal.
Plus précisément : si la dimension est égal à 1 que vaut son cardinal (même question si la dimension vaut 2).

Kaiser

H_aldnoer > on va oublier ça. on va procéder autrement.
si a est un élément non nul de A/P, que dire de l'application de A/P dans A/P qui à x associe ax ?

Kaiser

cette application est injective car A est intègre ?

ker(tp) (il a pas changé)=p.Z[X] inclus dans Ip.Donc A2. ou B2 est dans Ip cad Ip premier .
Ok?

pour c)
X+3 diviseur de 0 dans Z[X]/7Z[X] ??
comment écrire un élément de Z[X]/7Z[X]??

H_aldnoer > entre parenthèse, la réponse que j'attendais à la question sur la majoration du cardinal est p².
En effet, plus généralement, si K est un corps fini de cardinal n et E un K-espace vectoriel de dimension fini n, alors E est un ensemble fini de cardinal .

Kaiser

H_aldnoer > oui. Que peux-tu encore me dire de cette application ?
robby >

(je reviens après sur ta parenthèse)

faut-il utiliser quelque chose du genre A/P est fini ?

robby > cette question me parait très louche. est un corps donc est intégre. En particulier, il ne possède pas de diviseur de 0.

Kaiser