Bonjour. Je suis en train de faire un Devoir Maison de mathématiques. J'ai pourtant l'impression que mon raisonnement est correcte, mais je trouve à la fin une aire négative :

(la figure en fin de message )

Soit le rectangle ABCD de centre O, de longueur AB = 8 cm et de largeur BC = 4 cm.

M est un point du segment AB. On note x = AM.

La droite (OM) coupe (CD) en N, et la parallèle à (BD) passant par N coupe (BC) en P.

On cherche à trouver pour quelle(s) valeur(s) de x l'air du triangle MNP est maximale.

   1. Montrer que le trapèze MBCN a une aire constante.
   2. Déterminer les aires des triangles BMP et PNC en fonction de x. En déduire laire de MNP que l'on note f(x).
   3. Montrer que f(x) peut s'écrire sous la forme : f(x) = 8 - 0.5(x - 4)2.

Déterminer pour quelle valeur de x cette aire est maximale.

*************************** Ma réponse ****************************

Question 01 : Démontrons que AireMBCN est constante

Soit les deux triangles DON et BOM.

    * O milieu de [DM] car O centre du rectangle ABCD
          o Donc OD = OB
    * Les angles DON et BOM sont opposés par le sommet
          o Donc DON = BOM
    * Les angles CDB et ABD sont alternes-internes ((DC)//(AB) car ABCD rectangle)
          o Donc NDO = MBO

Donc, DON et BOM sont deux triangles ayant un côté adjacent à deux angles réspectivement égaux.
Donc DON et BOM sont deux triangles isométriques.

Deux triangles isométriques ont leurs côtés réspectivement égaux.

    * Donc : OD = OB
    * ON = OM
    * DN = MB
          o Donc AM = NC = BA - MB = CD - ND = x

AireMBCN = (NC + MB) * CB * 1/2 = (x + BA - x) * 4 * 1/2 = (x + 8 - x) * 4 * 1/2 = 8 * 4 * 1/2 = 16 cm2

L'aire du trapèze MBCN sera toujours égal à 16 cm2
Question 02 : Définir l'aire de MNP

Calculons d'abord PN.

Soit le triangle DBC, du rectangle ABCD. Nous avons N appartient a (DC), P appartient à (CB), et (NP)//(DB) ; donc d'après le théorème de Thalès : CP/CB = CN/CD = PN/BD.
PN = (CN * BD)/CD ; PN = (x * BD) / 8 ;

Pour trouver PN, nous devons calculer BD : ABCD rectangle, donc DCB triangle rectangle. D'après Pythagore :
BD² = CB² + CD² ; BD = rac(CB² + CD²) ; BD = rac(16 + 64) ; BD = rac(2*2*2*2*5) ; BD = 4rac(5) ;

On reviens à notre calcul de départ : PN = (CN * BD)/CD = (x * 4rac(5))/8 ;

Maintenant qu'on connait PN, on va pouvoir calculer l'air de PNC et BMP.

Calculons l'aire de PNC. A(PNC) = CP * CN * 1/2 ; A(PNC) = CP * x * 1/2 ;

Pour résoudre ce calcul, il nous manque CP... Calculons le, alors : On sait que PNC est un triangle rectangle en C, donc on peut utiliser le théorème de Pythagore :
PN² = CN² + CP² ; CP = rac(PN² - CN²) ; ... On calcul jusqu'à : CP = rac(9x²) ; CP = 3x ;

On revient donc à notre calcul précédent, et on remplace CP par 3x. Ce qui nous fait : A(PNC) = (3x * x)/2 ; A(PNC) = (3x²)/2 ;

Jusque là j'ai eu l'impression que c'était bon... Donc pour moi, si l'on souhaite calculer laire du triangle BMP, il suffit de retirer l'aire de PNC et de MBP à l'aire de MBCN, et puis le tour est joué...

AMPN = A(MBCN) - A(NCP) - A(MBP) ;
Après calcul, je trouve : -14x... C'est impossible, car ce nombre est négatif. Je ne vois pas pourtant, ou peut être l'erreur.