Ah... Alors comment faire en partant de l'union ??

Reviens à la définition d'un ouvert du plan. Tu dois montrer que tout point de l'ensemble E considéré lui est intérieur, c'est à dire centre d'un disque ouvert inclus dans l'ensemble. Soit m un point de E. Il est donc sur un l(a,b). Considère deux disques ouverts de centres a et b inclus dans A et B, puisqu'ils sont ouverts. Fais un dessin. Tâche de conclure par toi même.

Juste un truc : si m appartient à E, m appartient à un des l(a,b) seulement si la réunion des l(a,b) forme E. Est-ce évident, ou à démontrer ?

Pardon, ce que je viens d'écrire est idiot (penser à réflechir avant d'écrire........)

Je vais essayer comprendre tout ça!

j'ignorais que tout point d'un segment était le centre d'un disque ouvert inclus dans le segment ....

oops, j'aurais du faire attention, ne pas tenir compte de mon intervention, la fatigue, tout ça ....

Bonsoir.

Posons .  

  tel que

Considéres le disque .   tel que .

Montre alors qu'il existe tel que (ce qui donnera ),

( fais une figure, ça fera apparaitre les choix possibles de et ).

Errata

Posons    et  

Bonjour.

L'un des choix possibles de (a,b,t) fera apparaitre un joli parallélogramme (éventuellement dégénéré) de sommets et .

Bon, alors à priori, j'ai compris, et j'ai trouvé que m appartient au segment a, b où a = a0 + u (cos phi, sin phi) et b = a0 + u (cos phi, sin phi).

Par contre, j'ai un peu de mal pour trouver le t qui correspond.. c'est le même que pour m0 vu qu'on a juste fait une translation, mais est-ce qu'il faut le préciser ?

Bonjour, juste une demande d'info concernant cet exo , la démarche et la conclusion est elle valable dans ⁿ ? Il me semble que oui mais j'ai peur de tomber dans un piège

Je pense que oui. La figure en dimension n est analogue à la figure en dimension 2 ou 3

Ah je sais pas moi j'ai que deux yeux

Je plaisante à peine. a est dans une boule ouverte incluse dans A, b dans une boule ouverte incluse dans B. m, élément de l'ensemble E considéré, est sur le segment ab, dans une boule ouverte incluse dans E que tu détermines de la même façon en dimension 2, 3, ou n avec une formalisation du genre de celle donnée par delta-B, mais il me semble qu'il y a plus simple que ce qu'il propose.

Oui c'est ce que je pensais aussi mais j'avoue ne pas être totalement à l'aise pour le moment avec ces notions, avec la solution je comprend la démarche mais je n'y serais pas arrivé de moi même

Ce ne sont pas des notions simples. D'où l'intérêt de s'appuyer au maximum sur des figures, qui les rendent plus concrètes.

Bonsoir.

C'est justement le t qui me posait soucis. On prend simplement t = t0 ??

Bonjour.

@clarmuchevbn.

Comment as-tu alors montré que le point m (cas de ) était sur le segment d'extrémités et (Une figure n'est pas une démonstration mais elle donnait par parallélisme la valeur de t)
Pour la réponse à ta question, relis bien  la démonstration dans le cas de , tu verras même pourquoi c'est encore vrai dans le cas d'un evn.

Bonjour !

Pour montrer que m est sur le segment d'extrémité a et b, j'ai utilisé le fait que m = m0 + u(cosphi, sinphi) donc par translation, on obtient a = a0 + u(cosphi, sinphi) et b = b0 +u(cosphi, sinphi), et normalement le t ne change pas puisqu'on a juste fait une translation.

En tout cas ça me paraissait logique quand j'ai fait mon dessin, et il me semble que cette "démonstration" suffit, mais je me trompe probablement..

Bonsoir.

@clarmuchevbn.

Pour trouver les extrémités et tu as translaté et . Géométriquemnt (figure) on voit qu'effectivement m appartient au segment . il fallait trouver la valeur de pour laquelle on avait et c'est la qu'intervient le parallélisme: les segment   et   sont parallèles par construction même,  on se doutait que la dite valeur de est t_0, il fallait juste le vérifier analytiquement

Errata. Erreur de frappe

Pour trouver les extrémités et tu as translaté et et non

Soit E un -ev normé . Pour tout (a,b) de E² , {t.a + (1-t).b / 0 ≤ t ≤ 1}  est appelé segment d'extrémités a et b et noté [a , b] .
On écrit aussi ]a , b] au lieu de [a , b]\{a} et si a E et X est   E on pose  ]a , X] := { ]a , x] | x X } .

Si X est ouvert  tous les ]a , X] le sont aussi .
Pour le voir :  On prend  z ]a , X] . Il existe donc x dans X tel que z ]a , x] et r > 0 tel que BO(x,r) X . On désigne alors par h l'homothétie de sommet a telle que h(z) = x (Un dessin sur une feuille , sensée représenter E , aide à voir ce qu'on fait). Le rapport de cette l'homothétie est > 1 (tu peux le calculer effectivement )
h est bijective et h^-1 est l'homothétie de sommet u  et de rapport 1/ . Elle envoi x sur z et h^-1(BO(x,r))  = BO(z,r') où r' = r/ .
Si t   BO(z,r') , on a h(t) BO(x,r) X et t ]a ,h(t)] , ce qui prouve que BO(z,r') est contenue dans ]a , X] .
Etant voisinage de tous ses points , ]a , X] est ouvert .

Avec ça il est facile de voir que si U et V sont des ouverts de E , la réunion W des segments [u , v], où (u,v) décrit U V  , est aussi ouvert .

Bonjour.

@kybjm.

La généralisation de la démonstration dans le cas de me semble plus directe. En reprenant les notations de l'exercice, on a:

, on aura:     et  
(Dans la démonstration initiale, j'avais pris directement le même rayon r sans préciser pourquoi)
Posons . Soit .  Alors .
E sera ouvert si on peut montrer que , ce qui revient à , tel que ,
il suffit pour cela de prendre et , donc et  .
Il est alors aisé de vérifier que et donc que .