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Un "sous-groupe" monogène, dans S3 ?
Bonjour,
Je m'interroge sur un exercice dans un cours dont voici l'énoncé :
On considère le groupe des permutations sur un ensemble
à 3 éléments, par exemple
.
a) Décrire explicitement le groupe. Combien y a-t-il d'éléments ?
b) Montrer que n'est pas abélien. Quel est le centre de
.
c) Décrire tous les sous-groupes monogènes de , combien y en a-t-il de différents ? Donner les ordres de chacun des éléments.
d) Le groupe est-il cyclique ?
a) On a Bien sûr le groupe des permutations, de cardinal
telles que :
,
,
,
,
,
.
b) On a et
, donc
n'est pas abélien.
Pour le centre, je pense qu'il n'y a qu'avec qu'on a
pour tous éléments
y[/tex] de
.
c) C'est à cette question que je bloque... Si vous pouviez m'aider à comprendre.
Merci d'avance.
Bonjour,
Attention, le cardinal de S3 est 3! = 6, pas 6!.
Comme il n'y a que 6 éléments, vous pouvez considérer les sous-groupes engendrés par chacun d'entre eux.
Id engendre {Id}, 
1 engendre {Id, 1, 2}, etc.
On voit déjà que 1 et 2 engendrent le même sous-groupe.
N.
Bien sûr pour le 3!, c'était une coquille (inattention de ma part, pardon).
Je réfléchis aux réponses suivantes, merci.
Je suis toujours en train de chercher à savoir ce qu'est un sous-groupe monogène : il y aurait un sous-groupe de sous-groupe qui ne contiendrait qu'un seul élément et qui engendrerait le sous-groupe monogène, c'est ça ?
Un sous-groupe monogène est un sous-groupe qui peut être engendré par un seul élément.
S3 n'est pas un sous-groupe monogène de S3 car on ne peut pas trouver de singleton engendrant S3.
À l'inverse, {Id, 
1} est un sous-groupe monogène, engendré par 1.
S3 n'est pas un sous-groupe monogène de S3 car on ne peut pas trouver de singleton engendrant S3.
Je comprends mal cette affirmation : pour moi il est évident que S3 ne puisse être un sous-groupe monogène puisqu'il a
Dans l'exercice de départ, on parle de sous-groupe monogène ; d'après la définition il ne faut qu'un seul élément dans ce sous-groupe, et ils sont du type
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