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un théorème du point fixe
bonjour j'ai un devoir à faire et je suis bloqué sur l'un des exercices:
Soient a et b deux réels et une fonction croissante f:[a,b]--->[a,b].
(Cela signifie que pour tout x
[a,b],f(x)[a,b])
On considère E={x[a,b]/f(x)
x}.
1)Montrer que E admet une borne supèrieur 
.
2)Prouver que [a,b].
3)Montrer que f().
4)En déduire que est un point fixe de f, c'est à dire que f()=.
Merci d'avance
Bonjour
1) Il est clair que E est majoré (par b), non vide (contient a), donc possède une borne supérieure.
2) C'est vrai car [a,b] est fermé.
3) Montre que E est fermé, donc son sup est dedans.
Bonjour ;
est une partie de
non vide (
) majorée (par
).
Supposer
et aboutir à une contradiction en utilisant la croissance de
et la caractérisation de la borne sup .
De même supposer
et aboutir à une contradiction en utilisant la croissance de
et la définition de
.
escuser moi, est ce que vous pouvz venir sur le topic de l'inéquation trigonométrique pour me donner un cop de pousse svp?
RE bonjour il me reste une question à vous poser c'est pour l'exercice 2: voila ce que j'ai fait pour la question 3:
x appartient à E on a dc x appartient à [a;b]
x
car =borne sup(E)
xf(x)f() or xf(x)=E dc f() est un majorant de E et comme est le plus petit des majorants , on a dc f()
Voila je voulais savoir si c'était bon et je voulais aussi savoir si vous pouviez m'aider pour la question 4 parce que là j'y arrive pas ... merci
Bonjour
Pour 3) c'est OK.
Pour 4) Supposons f()>; Alors comme f est croissante, on aurait
f(f() f() et alors on aurait f() dans E. Or ceci joint à f()> est impossible. On a donc bien égalité.
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