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Un théorème du point fixe
Bonjour,
Je ne comprends pas un exercice. J'espère que vous pourrez m'aider afin d'en comprendre le but. L'énoncé est présenté exactement sous la forme suivante : Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie et C un compact convexe de E. Et soit u un endomorphisme de E laissant stable C. On considére pour tout entier naturel non nul n : . Je l'ai trouvé sous forme d'exercice avec les 3 questions suivantes :
1) De montrer que pour tout n
1 : un(C)
C
2) Que est non vide
3) De montrer que u admet un point fixe.
En fait, je ne comprends pas vraiment l'intérêt de l'exercice ( sauf à exhiber une application du théorème des compacts emboîtés peut-être ? ). Déjà si c'est le but de prouver que u possède un poit fixe il suffit de prendre un a quelconque dans K, alors vu que c'est un compact on peut considérer que la suite (un(a)) converge dans K (juste pour éviter l'écriture avec l'extraction...), et on a la majoration suivante qui vient du fait que K est borné : et elle est vraie pour tout n
1 ( pour tout 
(n)... ) ce qui donne un point fixe de u. Si c'est pour démontrer le théorème de Markov-Kakutani avec une famille finie d'endomorphismes commutant 2 à 2 et laissant stables K elle se fait qu'avec un jeu de normes et c'est qu'avec une famille quelconque que la propriété de Borel-Lebesgue entre en jeu.
J'espère que vous pourrez m'aider afin d'assimiler l'esprit de l'exercice et de me corriger si dans mon raisonnement ( du point fixe de u, qui paraît très facile par rapport à la complexité de l'exercice que je suis perplexe ).
Merci d'avance,
Bonjour ZiYun.
Je vais te donner une réponse d'approche plutôt philosophique :
Il est vrai que l'intérêt d'un exercice n'apparaît pas toujours immédiatement.
Mais c'est comme tout dans la vie. On a des expériences à droite et à gauche, on ne comprend pas toujours où l'on va et un beau jour, dans telle situation donnée, on se souvient qu'on a déjà vécu un truc similaire par le passé etc etc.
En maths, c'est pareil, on fait des tas d'exercices qui paraissent n'avoir aucun intérêt et un jour ... tilt ... une situation similaire ... tiens j'ai déjà vu ça quelque part ... et on finit par retrouver le "ça" en question. Ça s'appelle l'expérience de la vie.
Maintenant, vu comme ça, l'exercice est en dimension finie, donc, à priori, pas trop compliqué à résoudre. En réalité, ce type d'exercice est assez fréquent en dimension infinie pour des minimisations de fonctionnelles convexes (Lax-Milgram, Stampacchia et compagnie) ... des résolutions d'EDP au sens des distributions avec des Espaces de Sobolev etc etc j'imagine que la liste doit être assez longue.
Je note vn ce que tu notes un .
Pour tout x de C il y a au moins une sous suite de n 
un(x) ( et une autre de n vn(x) ) qui converge .
Je ne comprend pas pourquoi serait vraie !
D'ailleurs ce que tu racontes revient à dire que u = Id !
____________________
La convexité de C et la stabilité de C pour u ( donc pour toutes les uk) entraine la la stabilité de C pour toutes les .
Toutes les parties uk(C) sont compactes et la suite n vn(C) est décroissante .
La compacité de C entraine que l'intersection des vn(C) est donc non vide .
Les points fixes de u sont , bien sûr , à chercher dans C .
Bonsoir jsvdb
Je vous remercie pour votre réponse. Je suis d'accord à propos de :
l'expérience de la vie.
Je cherchais le but de l'exercice comme application dans un autre théorème. Surtout qu'on l'appelle théorème de Kakutani ( à tort je suppose, ou du moins il n'est pas évoqué de la sorte sur Wikipédia, peut être en fouillant des bouqins sur les théorèmes de point fixes on trouvera que c'est un réellement un théorème de Kakutani
Merci énormément pour votre réponse, j'aime savoir que des exercices ou des théorèmes servent dans d'autres théories. Et en fait, beaucoup d'exercices "compliqués" se résolvent par des <<on pose...>> , <<on considère ...>> qui dans la plupart des cas proviennent de théories qu'on n'étudie pas.
En prépa, je crois qu'on n'a pas trop le temps d'étudier certaines choses comme en fac. Mais c'est normal, la sup/spé n'a pas, à priori, comme vocation à former au métier de la mathématique (c'est comme ça que je vois les choses, disons, et ça n'a rien d'une critique 
).
Bonsoir etniopal,
Je viens de lire votre message. Je rectifie ici ce que j'ai dit : le but est d'exposer un point fixe de u. Si on prend un a quelconque dans K : on la suite (vn(a)) qui est une suite du compact C qui admet une sous-suite convergente, juste pour alléger les notations on va la considérer (vn(a))... on a pour tout n1 : vn(a)
C on peut donc écrire u(vn(a)). Et c'est u(vn(a))-vn(a) qui vérifie la majoration évoquée au premier message , et ceci car : , on obtient la majoration précédente, et on conclut grâce à la continuité de u et la convergence de (vn(a))
Bonsoir,
jsvdb vous avez raison sur ce point. Je cherche à acquérir le plus possible afin de m'approfondir pour plus tard si les circonstances de la vie me le permettent. Déjà le rythme de "dopage" n'est pas du tout bénéfique même pour le but des prépas : avoir des ingénieurs qui s'adapteront à des situations nouvelles...
Je m'excuse pour le triple post.
J'avais rectifié mon premier message mais à cause du chevauchement entre les différents posts je pense qu'il n'a pas été vu. Et j'aimerai réellement savoir si cela est correct ou je me trompe dans le raisonnement.
Merci d'avance
salut
l'intérêt de l'exercice est de travailler sans invoquer un argument de norme !!!
il faut peut-être remarquer pour compléter le travail de etniopal qu'évidemment si a est un point fixe de u il est aussi point fixe de u_n ...
la convexité est nécessaire pour la question 1/
la compacité est nécessaire pour la question 2/
...
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