Bonjour,

si c'est vrai pour a dans Q,et que tu as la continuité passé à R devrait pas trop poser de problème par densité de Q dans R en considérant des suites.

non Cauchy sauf erreur parce que pour que je montre qu'elle est continue faut que je montre qu'elle est linéaire pour pouvoir appliquer mes équivalences que j'ai énoncé précedemment...sauf erreur

Ah ok j'avais pas capté.

lol me revoila,donc en fait je sais pas trop comment poursuivre mon idée,je sais que f(ax)=af(x) pour a dans Q,le probleme est qu'il faut que je montre ceci pour a  quelconque...

Je pense qu'il faut quand même montrer la continuité avant et conclure comme je l'ai dit au-dessus.

On peut essayer de calquer la démo de bornée implique lipschitzienne.

Sauf qu'on sait pas si ||x|| est rationnel,donc on dit que pour tout x,il existe un rationnel r tel que r/2<||x||<r<1.

|f(x)|=| f(rx/r)|=rf(x/r)|<=2||x||f(x/r).

Reste à voir que f(x/r) reste bornée mais c'est pour ca qu'on sait arrangé vu que ||x/r||<1 donc f(x/r)<=M ou M est le majorant sur la boule unité.

je comprend ce que tu fais Cauchy...est ce que si on aune application quelconque f bornée sur la boule unité d'un espace normé elle est lipschitzienne?

Non j'utilise ici la linéarité sur les rationnels,en fait quand on prouve bornée implique lipschitzienne on travaille directement avec ||x|| mais ici on ne sait pas si ||x|| est rationnel donc on contourne le problème en l'encadrant par des rationnels.

hummm moué...et donc la on ajuste montré que f est bornée sur la boule unité....?

Bonjour robby3 et Cauchy ;
Je suppose que et sont des evn réels ?

Bonjour elhor,non ce n'est pas précisé dans l'exercice,ce sont justes deux espaces normés...

Non robby j'ai montré que c'était lipchitzien donc continue.

Je reprend,soit x dans E.

Alors par densité de Q dans R il existe un rationnel r tel que:

.

Donc

Or et:

ou M est le majorant de f sur la boule unité.

Donc

euhh ok mais pour ecrire la deuxieme ligne avec le f(x) tu n'utilises pas le fait que f est linéaire?(ce que l'on ne sait pas encore.)

Oui mais je l'utilise avec un rationnel ce que tu as montré.

Il me semble qu'en considérant comme -espace vectoriel normé avec , l'application vérifie bien les hypothèses mais n'est pas linéaire (sauf erreur)

Salut elhor,

Je penche pour un R-ev ici.

ahh non ok d'accord!! Autant pour moi,je viens de saisir la,désolé.

oui Cauchy!!Tu as donc montré bornée=>lipschitzien=>continue et aprés je m'en sort avec les theoremes que j'ai dit avant pour la linéarité(en supposant que ce soient des R ev...)?


Elhor > euhh bah en fait c'est vraiment pas dit dans l'énoncé mais alors vraiment pas...j'en parlerais demain à mon prof de TD,ça fera un jolie contre-exemple.

Oui on a continue car lipsichitzien(point besoin de théoreme) et on se sert de cette continuité pour passer de Q à R dans f(ax)=af(x).

ahh ouais ok non mais aprés tu veux dire on passe à R pour montrer la continuité sur les evn....??
Avec le truc la: tout réel est limite d'une suite de rationnel,f étant continue,on obtiens aisément la continuité sur R...mais je vois pas,enfin aprés pour la linéarité ok puisqu'on aura la continuité mais mon soucis ce sont E et F les espaces normés (supposés de R...)

Non la continuité on l'a déja on s'en sert pour montrer f(ax)=af(x) pour tout a réel.

f(lim anx)=lim anf(x)=af(x)=f(ax).

Je vais manger

oui oui je vois aprés c'est bon,je déroule je sais faire...mais humm je sais pas c'est bizarre cette démonstration...je vais la noter et je la suggererais demain en TD,on verra bien si le prof me regarde et rigole(comme quand je dis des trucs affreux) c'est que c'est pas ça,s'il me dit un grand OUI!! c'est gagner!

Merci àtoi pour ton aide et bon appétit.
Merci aussi à Elhor pour le joli contre exemple de l'exercice(ça va en jeter!!)
Merci a tout les deux et à bientot

euhh excuse moi Elhor mais peut tu me dire pourquoi la fonction que tu as défini est bornée sur la boule unité...je comprend moyennement cette notion.
Merci d'avance.

serait-ce parce que la fonction est toujours comprise entre [0,1] sur la boule unité??

Elle est bornée sur la boule unité car quand |z|<1,|zbarre|<1.

Comment ca il a pas intéret à te rire au nez sur ma démo

Qu'est ce qui te gêne dans la démo?

je sais pas,mais en fait j'aurais jamais pensé à utiliser le fait que x dans E soit compris entre deux rationnels...et pourtant tout par de la,aprés on déroule normalement...

On a pas d'autres info aussi donc on est obligé de feinter comme ca,enfin obligé je m'avancerai pas il y a peut etre un autre moyen comme souvent c'est ca qui fait la beauté des maths

c'est vrai Cauchy!!
Merci en tout cas pour ton aide et bonne soirée,si jamais notre prof nous file une autre démo je la posterais...

J'espère bien,bonne soirée

bon bah voila,juste pour dire à Cauchy que notre prof n'a pas corrigé l'exo...il a préféré en faire un autre,mais je lui ai parlais de la démo et du contre exemple,les deux sont exactement justes...mais il m'a dit qu'il y avait une autre solution pour démontrer cela...Quand on l'aura fait,je le posterais.

Ok merci