Bonjour,

3 parenthèses ouvrantes pour une seule fermante
ça rend l'expression ambiguë ..

tu voulais dire
(2n(n+100)) (2n+1) = 1 ?

montrer quelque chose de faux va être difficile !

pour n = 99 :
2n(n+100) = 39402
2n+1 = 199
or 39402 = 198*199 !

(et une infinité d'autres pour lesquels le PGCD est ≠ 1)

Bonjour,

Juste une remarque.
C'est le théorème et non la théorème.

Au début, j'ai cru que c'était juste une faute de frappe, mais vu que tu le refais deux fois, peut-être pas.

Ok merci à tous pour vos remarques. Comment peux-je corriger les fautes dans l'énoncé?
Je vais donner un exemple pour bien comprendre le problème. pour montrer par exemple que (5n+3)(2n+1)=1 il suffit de montrer qu'il existe un couple (u;v)² tel que: u(5n+3)+v(2n+1)=1. Pour cet exemple il est facile de trouver ce couple: (2:-5) car: 2(5n+3)-5(2n+1)=1. Donc (5n+3)(2n+1)=1. Mais pour (2n(n+1))(2n+1), il est bien difficile de trouver un couple. Remarque: ce couple peut s'écrire en fonction de n comme l'exempe suivant: on a (n+1)(2n²-1) =1 car (n+1)(2-2n)+(2n²-1)1=1. Dans ce cas le couple est: (2-2n;1).

avec (2n(n+1)) (2n+1)
ce n'est pas ce qui était donné dans le 1er message !

le PGCD de 2n(n+1) et 2n+1 est bien 1
(contrairement à celui de (2n(n+100)), 2n+1 du premier message)

il n'est pas plus difficile de trouver les U(n) et V(n) avec
U*(2n²+2n) + V*(2n+1) = 1
que pour ton exemple (n+1)(2-2n)+(2n²-1)1=1.

là aussi U sera une constante et V un polynome du premier degré en n
mais faut y mettre les bons coefficients, ceux qui annuleront les termes en n² et les termes en n.
on peut par exemple cherche ces coefficients de façon systématique, par identification, en les appelant a, b, c, et en développant a(2n²+2n) + (bn+c)(2n+1)

J'ai trouvé une méthode trés utile qu'on peut utiliser pour montrer ce type des proposiotions. On peut utiliser l'algorithme d'EUCLIDE pour déterminer (2n(n+1))(2n+1). Alors on obtient:
2n(n+1)=n(2n+1)+n  (Ligne 1)
2n+1=2n+1                     (Ligne 2)
n=1n+0                              (Ligne 3)
Alors on en déduit que le PGCD de ceux deux nombres est égale à 1. En remontant l'algorithme d'EUCLIDE, on obtient:
1=(2n+1)-2n                                                               (D'après la ligne 2)
   =(2n+1)-2((2n(n+1))-n(2n+1))                 (D'après la ligne 1)
   =(2n+1)+2n(2n+1)-2(2n(n+1))
1=(2n+1)(2n+1)-2(2n(n+1))
Inversement: (2n+1)(2n+1)-2(2n(n+1))=4n²+4n+1-4n²-4n=1.
Par conséquent: (2n(n+1))(2n+1)=1. De plus, le couple est: (2n+1;-2).

bien.

avec 2n(n+100) et 2n+1 du début tu tombes sur 199
et la seule chose que tu en tires est que selon les valeurs de n ce sera un diviseur de 199, c'est à dire soit 1 soit 199 (199 est un nombre premier)

Oh pardon! Je veux dire: 2n(n+1)(2n+1)=1 et pas 2n(n+100)(2n+1)=1. C'est ma faute.