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Une application du théorème de Bézout (1)

Posté par
mathetudiant 18-03-21 à 13:27

Bonjour à tous

--------L'énoncé-------------------------------------------------------------------------------------
1) Montrer que pour tout n : PGCD(n2+4n+1; n+4)=1
2) a) Dévolopper (n2+1)2 et (n2+1)3
      b) En déduire, à l'aide de théorème de Bézout, que : (n) PGCD(n4+2n2+1;n4+3n2+3)=1
--------Mes réponses-------------------------------------------------------------------------------

1) On pose d=PGCD(n2+4n+1; n+4). Alors d divise n2+4n+1 et n+4.

     On trouve: d \mid n+4 d \mid n2+4n. (On multiple par n)

     On a alors: d \mid n2+4n+1 et d \mid  n2+4n

    Donc d \mid   1. D'ou, d=1.   (car n2+4n+1-n2-4n=1)

Enfin: PGCD(n2+4n+1; n+4)=1

2) a)
             (n2+1)2=n4+2n2+1

             (n2+1)3=n6+3a4+3a2+1

     b) On a bien (n2+1)2=n4+2n2+1.

On pose d'=PGCD(n4+2n2+1;n4+3n2+3).

            Par suite: d' \mid (n2+1)2 alors d' \mid (n2+1)3. (On muliple par (n+1))

            C-à-d: d' \mid n6+3a4+3a2+1

           Or, d' \mid n4+3n2+3 alors d' \mid n6+3n4+3n2  (On multiple par n2)

           Donc d' \mid 1.

En conclusion, PGCD(n4+2n2+1;n4+3n2+3)=1

Posté par
carpediemre : Une application du théorème de Bézout (1) 18-03-21 à 14:01

salut

1/ que c'est compliqué

n^2 + 4n + 1 = n(n + 4) + 1 \iff 1 \times (n^2 + 4n + 1) - n \times (n + 4) = 1

et c'est terminé ...

2/ idem ... d'ailleurs je ne comprends pas ta conclusion ... trop rapide

p(n) = n^4 + 2n^2 + 1 = (n^2 + 1)^2 \\ \\ (n^2 + 1)^3 = n^6 + 3n^4 + 3n^2 + 1 = n^2(n^4 + 3n^2 + 3) + 1 = n^2q(n) + 1

donc n^2q(n) - (n^2 + 1)p(n) = 1

...

Posté par
mathetudiantre : Une application du théorème de Bézout (1) 18-03-21 à 14:28

carpediem

Ma faut de l'inattention

mathetudiant @ 18-03-2021 à 13:27


On pose d'=PGCD(n4+2n2+1;n4+3n2+3).

            Par suite: d' \mid (n2+1)2 alors d' \mid (n2+1)3. (On muliple par (n2+1))


Et après on devoloppe. En générale, on écrit:

\begin{cases}                                                               \\ d \mid n^6+3n^4+3n^2+1 \\                                \Rightarrow                d' \mid n^6+3n^4+3n^2+1 -n^6-3n^4-3n^2 \\ d \mid n^6+3n^4+3n^2 \\ \end{cases}

Alors, d' \mid 1

C'est ça l'idée. Mais votre technique est bien clair.

Posté par
carpediemre : Une application du théorème de Bézout (1) 18-03-21 à 15:09

implicitement c'est ce que j'utilise ... en écrivant "l'égalité" de Bezout ...

Posté par
mathetudiantre : Une application du théorème de Bézout (1) 18-03-21 à 17:17

carpediem
Oui c'est la meme chose. Ma technique est pour but de connaitre les coefficients de Bézout. Si on a remarqué les coefficients sans calcule (ils sont trivials) on peut utiliser «l'égalité de Bézout» directement.


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