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Niveau terminale
Une application du théorème de Gauss (1)
Posté par mathetudiant
Bonjour à tous
--------L'énoncé-------------------------------------------------------------------------------------
Soit (x;y;z)
3 tel que : 3x-7y-24z=0
En utilisant le théorème de Gauss, montrer que 21 divise y(x-z).
--------Ma réponse---------------------------------------------------------------------------------
Tout d'abord, on va présenter le théorème lequel on va utiliser dans cet exercice.
Théorème de Gauss: soit a, b et c des entiers relatifs non nuls. On a l'implication: (a bc et PGCD(a;b)=1)
a c.
----------------------------------
Montrons alors que 21 divise y(x-z).
On a les équivalences suivantes: 3x-7y-24z=0 
3x-7y-21z-3z=0
3x-3z=21z+7y
3(x-z)=7(3z+y)
Alors 7 divise 3(x-z). Puisque PGCD(3;7)=1, c-àd 7 divise (x-z).
De meme, on trouve les équivalences suivantes: 3x-7y-24z=0 3x-24z=7y
3(x-8z)=7y
Alors 3 divise 7y. Puisque PGCD(3;7)=1, c-àd 3 divise y.
Conclusion: 7 divise (x-z) et 3 divise y. Donc: 21 divise y(x-z).
-----------------------------------------------------------------------------------------
Je sais que cet exercice est très facile. J'ai besoin des remarques au niveau de la rédaction.
bonjour
cela me parait pas mal
on peut remarquer que l'écriture
3(x-z) = 7y + 21z
pouvait servir aux deux raisonnements (3 divise y et 7 divise (x-z) )
Bonjour,
Cet exercice n'est pas si facile que ça 
Je vois deux choses pour améliorer :
Remplacer les "c-àd" par "donc".
Préciser dans la conclusion que 3 et 7 sont premiers entre eux.
D'autres intervenants vont apporter des commentaires supplémentaires.
Enlever de mon message
Citation :
Préciser dans la conclusion que 3 et 7 sont premiers entre eux.
qui ne sert à rien Préciser dans la conclusion que 3 et 7 sont premiers entre eux.
Salut matheuxmatou
Oui très bien mais j'ai pensé que cela est plus précis (ma méthode) car il est difficile pour des uns pour comprendre l'idée si j'ai seulment dit: 3(x-z) = 7y + 21z et PGCD(7;3)=1 alors y(x-z) est divisible par 21. N'est ce pas?
non, ce n'est pas ce que je voulais dire... on ne peut pas conclure directement .... je dis juste que la même expression sert pour tes 2 parties de démonstration...
Oué c'est très bien; dire que 3(x-z)=7y+21z est équivaut à dire 3(x-z)=7(y+3z) et aussi équivaut à dire 3(x-8z)=7y. Comme PGCD(3;7)=1, 7 divise (x-z) et 3 divise y. D'ou le résultat. C'est ça l'idée n'est ce pas?
salut
JFF :
on peut donc démontrer de même que (x - 8z)(y + 3z) est multiple de 21 ...
mais pourrais-tu le déduire immédiatement de ton résultat et des deux égalités précédentes ?
Salut carpediem
Oui il est très facile; on peut utiliser la meme methode. D'après les deux relations on peut dire aue 3 divise y+3z et 7 divise x-8z car PGCD(3;7)=1. Donc (y+3z)(x-8z) est divisible par 21.
carpediem @ 18-03-2021 à 11:57
salut
JFF :
 = 7(y + 3z)
\\
\\ 3x - 7y - 24z = 0 \iff 3(x - 8z) = 7y)
on peut donc démontrer de même que (x - 8z)(y + 3z) est multiple de 21 ...
mais pourrais-tu le déduire immédiatement de ton résultat et des deux égalités précédentes ?
donc sans rien faire de ce que tu viens de faire !!!salut
JFF :
on peut donc démontrer de même que (x - 8z)(y + 3z) est multiple de 21 ...
mais pourrais-tu le déduire immédiatement de ton résultat et des deux égalités précédentes ?
carpediem
Ok, je vais essayer.
À partir des deux relations, on tire: 21y(x-z)=21(y+3z)(x-8z).
Donc y(x-z)=(y+3z)(x-8z).
Comme y(x-z) est divisible par 21, 21 divise (y+3z)(x-8z).
Comme ça?