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Une application du théorème de Gauss (3)

Posté par
mathetudiant 18-03-21 à 12:26

Bonjour à tous
--------L'énoncé-------------------------------------------------------------------------------------
Déterminer dans 2 tous les couples (x;y) tels que :  \frac{x+12}{y+15}=\frac{x}{y}
--------Ma réponse---------------------------------------------------------------------------------

D'abord, la relation \frac{x+12}{y+15}=\frac{x}{y} est vrai si et seulement si y0. Donc il donne successivement les équivalences suivantes:

       \frac{x+12}{y+15}=\frac{x}{y} \Leftrightarrow y(x+12)=x(y+15)

                               \Leftrightarrow xy+12y=xy+15x

                               \Leftrightarrow 12y=15x

                               \Leftrightarrow 3\times 4y=3\times 5x

                               \Leftrightarrow 4y=5x

      
Puisque PGCD(5;4)=1, alors 5 divise y et 4 divise x. Donc il existe un entier naturel k tel que: x=4k et y =5k.


inversement, on a:  \frac{4k+12}{5k+15}=\frac{4(k+3)}{5(k+3)}=\frac{4}{5}    et    \frac{4k}{5k}=\frac{4}{5}


Enfin, l'ensemble solution est:  S=\left\{(4k;5k)/ k\in N \right\}

Posté par
carpediemre : Une application du théorème de Gauss (3) 18-03-21 à 12:30

salut

ouais enfin en terminale l'étape 3 * 4 * y = 3 * 5 * x  est superflue ...

Posté par
mathetudiantre : Une application du théorème de Gauss (3) 18-03-21 à 12:33

Bonjour carpediem

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