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une application linéaire est déterminée par l'image d'une base
Bonjour,
Je ne comprends pas la démonstration du théorème qui dit que:
"Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Etant données e une base de E et f une famille de vecteurs de F, il existe une unique application linéaire u
L(E,F) vérifiant 
iI, u(ei)=fi"
Pour un tel théorème, on utilise une preuve par analyse-synthèse pour prouver l'unicité et l'existence. C'est la preuve de l'unicité qui me pose problème.
On suppose qu'une telle application linéaire u existe.
Soit xE. On écrit la décomposition de x dans la base e: x=
1e1+...+nen.
Par linéarité de u: u(x)=1u(e1)+...+nu(en)=1f1+...+nfn.
On en déduit l'unicité de u.
Au début je pensais que l'unicité était due au fait que e est une base de E. On a alors une unique décomposition de x dans e et donc une seule famille de scalaire pour écrire cette décomposition. On peut alors écrire u(x) de manière unique. Mais dans mon cours il est dit qu'il suffit que la famille e soit génératrice et je ne comprends pas car à fortiori on peut alors trouver plusieurs familles de scalaires pour écrire la décomposition de x et alors u(x) ne s'écrit plus de manière unique. Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît?
Merci.
Bonjour.
Pour tout , les
sont déterminés de manière unique car
est une base. Donc
est déterminé de manière unique.
Si je te dis que j'ai une fonction g qui vérifie pour tout x, , g est bien unique non ? Là c'est pareil, sauf que ça se voit peut-être moins, mais c'est vraiment pareil.
C'est bien ce que je pensais mais juste à la suite, dans le cours il y a:
"Comme on peut le voir dans la démonstration du théorème précédent, il suffit que la famille e soit génératrice pour pouvoir conclure à l'unicité d'une telle application linéaire."
Mais dans ce cas on a plus forcément l'unicité de la famille de scalaires. Je ne comprends vraiment pas cette remarque. Pouvez-vous m'éclairer? Merci.
Bonjour,
Si la famille est génératrice sans être libre, il peut ne pas exister d'application linéaire.
Mais s'il en existe, alors elle est unique.
L'unicité de la décomposition de x sur la base n'intervient pas dans
Soit x
E. On écrit la décomposition de x dans la base e: x=1e1+...+nen.
Par linéarité de u: u(x)=
1u(e1)+...+nu(en)=1f1+...+nfn.
On en déduit l'unicité de u.
Ce qui intervient, c'est que, pour un x donné, u(x) ne peut prendre que la valeur
1f1+...+nfn .
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