Est ce que tu as vu le théo de l'application ouverte?
Car c'est ce résultat qu'il faut prouver...Cela dit dans un cas beaucoup simple puisque F estd e dimension finie, cela dit il manque une hypothèse sur E...il faudrait au moins que E soit complet...

non je ne l'ai pas vu

ne peut on pas faire le lien entre de dimension finie et complet ?

Le sens f ouverte implique f surjective est tres simple, puisque l'image d'une application linéaire non surjective est un fermé d'intérieur vide...

Pour le reste il n'est effectivement pas besoin de supposer E complet essaie de prouver la première implication, ca devrait te donner des idées...

c'est immédiat?
si f non surjective => f(A) fermé d'intérieur vide
donc f(A) ouvert => f surjective ... ?

Il faut tout de meme supposer f continue (ce qui est le cas ici) pour avoir Imf fermé, mais l'intérieur non vide marche toujours.
En effet si tu prend x dans F esp d'arrivée alors x/tN(x) est une boule aussi petite petite que l'on veux pour t assez grand, et si f(B(0,1)) est un ouvert c'est un voisingae de 0, et donc pour un certain t x/tN(x) est dans ce voisinage, donc il existe y dans B(O,1) tel que f(y)=x/tN(x) par suite f(tN(x)y)=x et f surjective.

Pour le 2 essaie de te ramener au cas ou E est de dimension finie et f est un isomorphisme.

euh je vois pas bien pour la 2...