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Une autre expression de f(x)

Posté par
Louisle38 16-04-21 à 20:16

Bonjour tout le monde.
J'essaie de résoudre l'exercice suivant : soit f une fonction continue et bornée et $\lambda >0$. Prouver que $\lim\limits_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda n}\frac{(\lambda n)^k}{k!}f(\frac{k}{n})=f(\lambda)$.

J'ai tenté un changement de variable "naif" u=\lambda n mais ça n'a pas l'air de mener à grand chose.

La seule autre piste que j'ai creusé est le fait que l'expression précédente est égale à $\lim\limits_{n \to \infty} \mathbb{E}[f(\frac{X_n}{n} ) ]$ où X_n suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda n mais je ne sais pas vraiment comment continuer.

Si quelqu'un pouvait m'aider ce serait super
Bonne journée/soirée.

***Le site a détecté un multicompte***Situation à régulariser***cf Q29 de la FAQ : [lien]

Posté par
Ulmierere : Une autre expression de f(x) 16-04-21 à 22:40

Presque, c'est plutôt une loi de Poisson là  

Posté par
Louisle38re : Une autre expression de f(x) 16-04-21 à 22:51

Oui en effet, je voulais dire loi  de Poisson, excusez moi

Posté par
LeHiboure : Une autre expression de f(x) 16-04-21 à 22:53

Bonsoir,

Une piste : ça fait penser au calcul de l'espérance dans une loi de Poisson.
A suivre...


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