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Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x

Posté par
elhor_abdelali Correcteur 21-06-07 à 04:07

Bonjour ;

Soit \fbox{f{:}\mathbb{R}\to\mathbb{R}} une application vérifiant : 3$\blue\fbox{(\forall x,y\in\mathbb{R})\hspace{5}\hspace{5}f(x^2+y+f(y))=2y+(f(x))^2}.

Prouver que 3$\red\fbox{f=Id_{\mathbb{R}}}

bonne réfléxion

Posté par
Camélia Correcteurre : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 22-06-07 à 14:34

A tout hasard, pour pas qu'il se perde dans les profondeurs...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 22-06-07 à 16:57

Merci Camélia

On pourra commencer par montrer que \blue\fbox{f(0)=0} (ce qui facilite les choses)

Posté par
lafol Moderateurre : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 22-06-07 à 19:35

un petit indice pour y arriver ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 22-06-07 à 21:06

Volontier lafol ;
\fbox{.} Dans l'équation fonctionnelle 2$\blue\fbox{f(x^2+y+f(y))=2y+(f(x))^2} le terme de gauche ne change pas si on remplace x par -x
il en va donc de même pour le terme de droite ce qui donne la relation \red\fbox{(f(x))^2=(f(-x))^2} valable pour tout réel x.

\fbox{.} En faisant x=0 et en notant f(0)=a on a pour tout réel y , \fbox{f(y+f(y))=2y+a^2}
l'application affine \fbox{\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\y\to2y+a^2} étant clairement surjective (voir même bijective) on conclut que f prend toutes les valeurs réelles.
si b est un antécedent de 0 on a \fbox{f(b+f(b))=f(b)=0=2b+a^2} ce qui veut dire que l'unique antécedent de 0 par f est \fbox{b=-\frac{a^2}{2}}
et comme -b est aussi antécedent de 0 (relation en rouge) ... (sauf erreur)

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 22-06-07 à 21:17

elhor>> dsl de poster toujours des hors-sujet sur tes topics .. je voulais juste te demander un truc: j'ai eu un 15.93 en bac, tu penses vraiment que je peux être accepté en Med V... (j'ai un grand doute )
merci et désolé encore une fois pour ce HS

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 22-06-07 à 21:27

C'est pas grave monrow
OK pour la moyenne en bac mais cela dépend aussi (je crois) de ton classement parmi les élèves de ton établissement .

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 22-06-07 à 21:34

j'étais le premier mais ils prennent combien de chaque établissement en général? (merci pour ta réponse )

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 23-06-07 à 00:37

En général au moins les trois premiers de chaque établissement...

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 23-06-07 à 00:39

Ok elhor... merci beaucoup

Posté par
infophilere : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 23-06-07 à 01:44

monrow > Si tu es le premier je vois même pas pourquoi tu te poses la question

Posté par
1 Schumi 1re : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 23-06-07 à 08:20

Zut alors, j'étais même pas arrivé à la relation en rouge.


Ayoub.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 23-06-07 à 11:18

Kevin>> Ici au Maroc, c'est pas comme la France.. Tu peux être premier de ton lycée et ne pas être accepté

Posté par
Camélia Correcteurre : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 23-06-07 à 14:26

Bonjour (je l'avais préparé avant de voir l'indication, mais nous sommes sur la même longueur d'onde).

1) En prenant z quelconque, x=0 et y=(z-f(x)2)/2 on voit que z est dans l'image de f et donc f est surjective.

2) En prenant y=0 on voit que f(x2+f(0))=f(x)2=f(-x)2, donc f(-x)=\pm f(x)

3) Soit y>0 et supposons que f(y)0. En prenant x=\sqrt{-f(y)} on a
f(y)=2y+f(x)^2>0 ce qui est impossible. En tenant compte de 2) ceci prouve que
y\neq 0\Longrightarrow f(y)\neq 0

4) Comme f est surjective, 0 a un antécédent qui ne peut-être que 0 d'après 3). On a donc \red {f(0)=0}

5) Maintenant (en prenant x=0) on sait que pour tout y, f(y+f(y))=2y. Mais alors

3y+f(y)=(y+f(y))+f(y+f(y))=2(y+f(y))=2y+2f(y)

d'où \red y=f(y)

Merci elhor, c'est le genre d'exo très gratifiant; enfin, quand on y arrive!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 23-06-07 à 15:01

Bonjour Camélia ;
OK pour \red f(0)=0

mais je n'ai pas bien compris ;

Citation :
3y+f(y)=(y+f(y))+f(y+f(y))=2(y+f(y))=2y+2f(y)

j'ai l'impression que tu as pris \fbox{y+f(y)+f(y+f(y))} pour \fbox{f(y+f(y)+f(y+f(y)))} (sauf erreur de ma part)

Posté par
Camélia Correcteurre : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 23-06-07 à 15:05

Zut! je me suis encore embrouillée... Ca peut encore s'arranger, ou je recommence tout?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 23-06-07 à 15:30

On peut toujours arranger les choses

Tu as montré (implicitement) que l'image par f d'un réel positif est positive chose qui peut d'ailleurs se voir directement de la relation :
\red\fbox{f(x^2)=(f(x))^2} (obtenue en faisant y=0 dans notre équation de départ)
Tu peux maintenant essayer de prouver que f est une bijection de \mathbb{R}+ vers lui-même.

Posté par
Camélia Correcteurre : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 23-06-07 à 15:33

Merci, je verrai tranquillement pour demain... (mais je regrette que ma méthode soit fausse, c'était joli)

Posté par izaabelle (invité)re : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 23-06-07 à 17:28

mode HS ON: de mon temps, ils avaient pris quand même quelques 5 ou 6 personnes de ma promo en med V je ne pense pas que tu devrais t'en faire mode HS OFF

Posté par
1 Schumi 1re : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 25-06-07 à 12:29

Bon, ben, je me lance.

Prenons x=0, l'équation fonctionelle devient alors \textrm \fbox{f(y+f(y))=2y}. Cela signifie que pour tout \textrm y\in\mathbb{R}^+, y a un antécédent et un seul. De plus, comme \textrm y>0, on a aussi \textrm \fbox{y+f(y)>0} (cf remarque d'elhor). Donc tout réel strictement positif a un antécédent strictement positif et un seul.

f est donc une bijection de \textrm \mathbb{R}^+ sui lui-même.

C'est bon?


Ayoub.

Posté par
Camélia Correcteurre : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 25-06-07 à 15:45


Bonjour, je persiste et ne signe pas encore!

Donc on a démontré que f est surjective, que f(0)=0, que y>0 f(y)>0, que f(y+f(y))=2y et que
f(x2)=f(x)2=f(-x)2

D'où pour y>0:

f(3y+f(y))=f(y+f(y)+f(y+f(y))=2(y+f(y)); par ailleurs, f(3y+f(y))=f((\sqrt{2y})^2+y+f(y))=2y+f(2y). On a donc \red f(2y)=2f(y)
et on en tire que f(y/2k)=f(y)/2k pour tout entier k.

De f(1)2=f(1), et du fait que f(1)>0 on déduit que f(1)=1. Puis, par récurrence, que f(n)=n pour tout entier n. On a donc

f(n/2k)=n/2k pour tous entiers n et k donc f et Id coïncident sur une partie dense de R+.

Si je savais que f est strictement croissante, je pourrais conclure car strictement croissante et surjective entraine continue.

J'ai bien remarqué que pour y>0, f(x2+y+f(y))>f(x2), mais je n'ai pas réussi à montrer que Id+f est surjective, ce qui permettrait
de conclure.

J'espère que cette fois je n'ai pas dit de bêtises, et aussi que toi elhor tu nous montres pourquoi f est strictement croissante (à moins que tu aies
une méthode toute différente).

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 25-06-07 à 16:48

Bonjour ;

1 Schumi 1 > :
Comment est ce que de la relation \fbox{f(y+f(y))=2y} tu déduis l'unicité de l'antécédent de y>0 dans \mathbb{R}_+^* ?
(je comprends pour l'existence mais pas pour l'unicité)

Camélia > :
Ce que tu as fait (et voulu faire : croissance de f et surjectivité de Id+f ) est juste et se fait facilement si on montre que f induit une bijection de \mathbb{R}+ sur lui-même.

Je vous laisse une marge de réflexion (sauf erreur)

Posté par
1 Schumi 1re : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 25-06-07 à 18:13

elhor>>
Je me disais bien qu'il y avait un problème. J'ai juste voulu tenté ma chance.


Ayoub.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 26-06-07 à 00:47

Allez un coup de pouce quand-même

1 Schumi 1 a bien vu que f induisait une surjection de \mathbb{R}+ dans lui-même il nous reste donc d'établir son injectivité :
Soient \blue\fbox{x,y\in\mathbb{R}+\\f(x)=f(y)} en écrivant \fbox{x+y+f(y)=y+x+f(x)} puis en appliquant f on a ,
\fbox{2y+(f(\sqrt x))^2=2x+(f(\sqrt y))^2} et donc \blue\fbox{x=y} (sauf erreur)

Posté par
1 Schumi 1re : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 26-06-07 à 09:12

Joli elhor.
J'avais bien pensé à montrer l'injectivité en faisant \textrm \fbox{f(x)=f(y) \Longrightarrow x=y} mais j'avais pas trouvéle "truc". Je pense pas non plus, vu ce qu'il fallait faire, que j'aurai trouvé.
Les outils que semblent utiliser Camélia ne sont pas de mon niveau. (ie, je comprends rien à ce qu'elle fait ). Est ce que tu aurais une autre méthode ou ...?


Ayoub.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 26-06-07 à 13:51

\fbox{.} En notant I l'identité de \mathbb{R}+ la relation \fbox{\forall y\ge0\hspace{5},\hspace{5}f(y+f(y))=2y} s'écrit aussi \fbox{fo(I+f)=2I}
donc \blue\fbox{I+f=go(2I)} où g est la bijection réciproque de f{:}\mathbb{R}+\to\mathbb{R}+ ,
et on voit que I+f est aussi une bijection de \mathbb{R}+ vers lui-même .

\fbox{.} Ainsi si x et y sont des réels positifs quelconques et z\ge0 tel que y=z+f(z) on a ,
\fbox{f(x+y)=f(x+z+f(z))=(f(\sqrt x))^2+2z=f(x)+f(z+f(z))=f(x)+f(y)}.

\fbox{.} Si \fbox{0\le x\le y} on peut écrire , \fbox{f(y)=f((y-x)+x)=f(y-x)+f(x)\ge f(x)}
l'application f{:}\mathbb{R}+\to\mathbb{R}+ est donc en plus croissante

Posté par
Camélia Correcteurre : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 26-06-07 à 14:11

Eh oui... je n'ai pas réussi à faire l'injectivité!

Comme quoi, un truc aui a l'air inoffensif peut être très méchant!

Dernière question: une fois f strictement croissante, tu t'en sors sans densité?

Vraiment, merci.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 26-06-07 à 14:56

Oui Camélia ,
Pour x\ge0 on a \blue\fbox{f(x+f(x))=f(x)+f(f(x))=2x} donc ,

\fbox{ou\{{f(x)\le x\Longrightarrow f(f(x))\le f(x)\le x\Longrightarrow f(x)+f(f(x))\le x+f(x)\le2x\\f(x)\ge x\Longrightarrow f(f(x))\ge f(x)\ge x\Longrightarrow f(x)+f(f(x))\ge x+f(x)\ge2x} (sauf erreur)

Posté par
Camélia Correcteurre : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 26-06-07 à 15:00

Astucieux!

C'est le problème avec ce genre de choses: on peut les attraper par n'importe quel bout, mais on ne sait pas lequel finira par mener quelque part!

A la prochaine!

Posté par
lafol Moderateurre : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 26-06-07 à 16:41

re-bonjour
ce topic a été classé initialement en "analyse" (au vu du mot "fonction", j'imagine), mais au vu des méthodes employées, je me demande s'il ne serait pas plus à sa place en "algèbre" ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 26-06-07 à 21:01

Oui lafol c'est plutôt de l'algèbre à moins qu'on veuille utiliser dans la résolution des notions d'analyse telle que la densité par exemple

Posté par
1 Schumi 1re : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 27-06-07 à 10:31

Moi je dis respect! Chapeau bas elhor.


Ayoub.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une caractérisation de : IR --> IR , x --> x 27-06-07 à 11:43

Merci Ayoub

Il reste un tout petit détail pour le comportement de f sur \mathbb{R}- :
et bien pour tout \blue\fbox{x<0} on a aussi \blue\fbox{f(x)=x}

preuve : Soit x<0
f(x^2)=(f(x))^2=f((-x)^2)=(f(-x))^2 donne f(x)=\pm f(-x)
L'égalité f(x)=f(-x) est impossible car elle entrainerait f(x)=-x et donc x+f(x)=0
et par suite f(x+f(x))=2x=0 (sauf erreur)


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