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Une chouette intégrale

Posté par
soucou 19-05-08 à 17:41

Bonjour,

Bien que dépassant un peu mes compétences, je me suis attaqué à un oral de MP, à savoir calculer l'intégrale : 4$\int_0^{+\infty}\frac{\sqrt{t}}{\ e^t-1\ }dt.

Outre la convergence que j'ai démontré sans soucis, je reste bluffé devant la valeur, à savoir 4$\frac{\ sqrt{\pi}\ }{2}\zeta\left(\frac{\ 3\ }{2}\right) (fonction zêta de Riemann).

Je pense qu'il faille se ramener à une série via les intégrales de Riemann et ensuite faire jouer des encadrements.

C'est plutôt par curiosité que je cherche à la résoudre, donc si quelqu'un à une idée, sinon au pire je m'y attaque demain pendant les 4 heures de TIPE .

Merci

Posté par
fusionfroidere : Une chouette intégrale 19-05-08 à 17:49

Salut soucou,

Je n'ai pas encore regardé ton intégrale, mais je pense que je vais suivre ce sujet avec intérêt...

D'autre part, je pense que si tu as un niveau correct en maths spé, tu peux tout à fait résoudre cet exo, car, à l'oral, les profs ne te laissent jamais sans indications devant un tel exo.

Et ce n'est pas parce que le prof nous donne des indices qu'on ne peut avoir une bonne, je parle en connaissance de cause

Sinon, pour calculer cette intégrale, peut-être faut-il passer par le théorème de dérivation ??

Posté par
fusionfroidere : Une chouette intégrale 19-05-08 à 18:21

Mais en fait \frac{1}{exp{t}-1} est de la forme \frac{1}{1-u}

Mais pour cette formule il faut que |u|<1

Donc il faudrait faire intervenir exp{-t}

Posté par
JJare : Une chouette intégrale 20-05-08 à 14:25

<< Une chouette intégrale >>
!!!
et encore plus chouette que cela (ou plus commun selon le point de vue où l'on se place...) : Les définitions intégrales des fonctions zéta de Riemann, lambda et éta de Dirichlet, etc...

Une chouette intégrale

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une chouette intégrale 20-05-08 à 14:39

Bonjour soucou et fusionfroide ;

En considèrant , pour n\in\mathbb{N} , la fonction 4$\fbox{f_n\;:\;]0,+\infty[\to]0,+\infty[\\\;\;\;\;u\to f_n(u)=-e^{-nu^2}\ell n(1-e^{-u^2})} , il est facile de voir que :

\fbox{*} f_n est continue .

\fbox{*} 3$\fbox{f_n(u)\;\displaystyle\sim_{u\to+\infty}e^{-(n+1)u^2}} .

\fbox{*} 3$\fbox{f_n(u)\;\displaystyle\sim_{u\to0^+}-2\ell n(u)\displaystyle=_{u\to0^+}o(\frac{1}{\sqrt u})} .

et ainsi la suite 4$\fbox{I_n=\int_{0}^{+\infty}f_n(u)du} est bien définie (remarquer que c'est une suite strictement décroissante de réels strictement positifs).

et comme 4$\fbox{I_n=\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-nu^2}}{\sqrt u}\sqrt uf_0(u)du} on a , en notant 3$\fbox{M=\sup_{u>0}\;\sqrt uf_0(u)} ,

4$\fbox{I_n\;\le\;M\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-nu^2}}{\sqrt u}du\;\;\displaystyle=_{t=u\sqrt n}\;\;\frac{M}{n^{\frac{1}{4}}}\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-t^2}}{\sqrt t}dt} et donc 3$\blue\fbox{\lim_{n}\;I_n=0} . (à suivre sauf erreur bien entendu)

Posté par
perroquetre : Une chouette intégrale 20-05-08 à 14:43

Bonjour, soucou

C'est la planche 77a de l'Officiel de la Taupe

Voici les idées pour résoudre l'exercice:
3$ \frac{\sqrt{t}}{e^t-1}=\sqrt{t}e^{-t}\ \frac{1}{1-e^{-t}}=\sqrt{t}e^{-t}\sum_{n=0}^{+\infty} e^{-nt}

3$ \int_0^{+\infty}\sqrt{t}e^{-(n+1)t}dt =\int_{0}^{+\infty}\sqrt{\frac{u}{n+1}}e^{-u}\frac{du}{n+1}= \frac{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}{(n+1)^{\frac{3}{2}}     avec       3$\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt

\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)

\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}

(La définition et les résultats sur la fonction \Gamma sont dans le cours de Spé MP)

Posté par
perroquetre : Une chouette intégrale 20-05-08 à 14:46

Devancé

Bonjour, elhor
Un petit moment qu'on ne s'était pas rencontrés

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une chouette intégrale 20-05-08 à 15:31

Salut perroquet (le plaisir est pour moi)

Comme d'habitude j'adore faire les choses de la manière qui me semble la plus élémentaire

En utilisant le développement bien connu 4$\fbox{x\neq1\;,\;n\in\mathbb{N}^*\\\frac{1}{1-x}=1+x+..+x^{n-1}+\frac{x^n}{1-x}}

et en intégrant sur [0,e^{-u^2}] pour u>0 , on a , 4$\fbox{f_0(u)=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{e^{-ku^2}}{k}\;+\;\underb{\fbox{\int_{0}^{e^{-u^2}}\frac{x^n}{1-x}dx}}_{J_n(u)}}

et comme 4$\fbox{0\le J_n(u)\le e^{-nu^2}\int_{0}^{e^{-u^2}}\frac{dx}{1-x}=f_n(u)} on voit que ,

4$\fbox{0\le I_0-\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\int_{0}^{+\infty}e^{-ku^2}du\le I_n} ou encore 5$\fbox{0\le I_0-\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{k\sqrt k}\underb{\fbox{\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}dt}}_{\frac{\sqrt\pi}{2}}\le I_n}

et en faisant n\to+\infty , on voit que 5$\red\fbox{\int_{0}^{+\infty}-\ell n(1-e^{-u^2})du=\frac{\sqrt\pi}{2}\zeta(\frac{3}{2})}

Voilà soucou , je te laisse maintenant vérifier soigneusement que 3$\blue\fbox{\int_{0}^{+\infty}-\ell n(1-e^{-u^2})du=\int_{0}^{+\infty}\frac{\sqrt t}{e^t-1}dt} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
soucoure : Une chouette intégrale 20-05-08 à 17:58

Merci à vous, bien vu perroquet c'est bien de l'officiel de la Taupe que je l'ai prise.

Ceci dit, j'ai pu trouver une démonstration dans un livre où ils se servaient de la somme géométrique entre autre tant présente mais sur le coup j'avoue y avoir pas trop trop pensé...

Je regardé ces messages plus tard car les 4 heures de maths d'avant mon épuisée...


Merci beaucoup


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