Niveau maths spé

Une CNS d'intégrabilité

Posté par
Yona0404 29-09-23 à 02:58

Bonjour!!

Soit $(X, \mathfrak{B}, \mu)$ un espace mesuré. Soit $f: X\rightarrow \R$ une fonction mesurable.

1) Montrer que f est intégrable ssi:

$\sum_{n\geq 1}^{}{n\mu(\{n \leq |f| \leq n+1\f\})}\leq +\infty$ .

2) Montrer que pour tout n ^*,

$\sum_{k= 1}^{n}{k\mu(\{k \leq |f| \leq k+1\f\})}= \sum_{k= 1}^{n}{k\mu(\{|f| \geq k\}) - n\mu(\{|f|\geq n+1\})}$

3) Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite décroissante convergente vers 0 et telle que la suite de terme général

$v_n:=\sum_{k=1}^{n}{u_k -nu_{n+1}}$

soit bornée. Montrer que $\sum_{n \geq 1}^{}{u_n} < +\infty$ .

4)En déduire que f est intégrable ssi $\sum_{n \geq 1}^{}{\mu(\{|f | \geq n\})} < +\infty$ .

5) Les résultats de 1) et 4) subsistent-ils si $\mu(X)= +\infty$ ?

Pour 1) On nous a indiqué de considérer la fonction partie entière de la valeur absolue de f et de démontrer qu'elle s'écrive: $[|f|]=\sum_{n\geq 1}^{}{n 1_{\{n\leq |f| < n+1 \}}}$ .

Merci d'avance!!

Posté par re : Une CNS d'intégrabilité 29-09-23 à 07:55

Bonjour
Et toi qu'as-tu fait pour le moment ?

Posté par re : Une CNS d'intégrabilité 29-09-23 à 14:58

Bonjour Malou!

Pour 1) :

Je dois d'abord corriger l'énoncé:

$\text{ f intégrable ssi } \sum_{n \geq 0}^{}{n \mu(\{n\leq |f| < n+1\})} \red{ < } +\infty$

Je commence par l'implication ""; supposons que f est intégrable.

J'ai posé $A_n =\{n\leq |f| < n+1\}$ .

J'ai considéré la suite $(1_{A_n}|f|)_{n \geq 0}$ , et je pense que: $\sum_{n \geq 0}^{}{1_{A_n}|f|} = |f|$ (je ne l'ai pas démontré, est-ce correct?).

Alors:

$\int_{X}^{}{|f| d\mu}= \int_{X}^{}{\sum_{n \geq 0}^{}{1_{A_n}|f| d\mu}} =^{(*)} \sum_{n \geq 0}^{}{\int_{X}^{}{1_{A_n}|f| d\mu}}= \sum_{n \geq 0}^{}{\int_{A_n}^{}{|f| d\mu}}$

Nous avons démontré (*) dans un exo précédent.

Et on a, sur $A_n$ : $n \leq |f| < n+1$ ,

donc $n \mu(A_n) \leq \int_{A_n}^{}{|f| d\mu} < (n+1) \mu (A_n)$
$\sum_{n\geq 0}^{}{n \mu(A_n) }\leq \sum_{n \geq 0}^{}{\int_{A_n}^{}{|f| d\mu} }=\int_{X}^{}{|f| d\mu} < +\infty$

Pour la réciproque, je pense qu'on peut utiliser la majoration $\int_{A_n}^{}{|f| d\mu} < (n+1) \mu (A_n)$ , mais il me faut démontrer que si $\sum_{n\geq 0}^{}{n \mu(A_n) }\leq +\infty$ alors: $\sum_{n\geq 0}^{}{(n+1) \mu(A_n) }\leq +\infty$ également.

Posté par re : Une CNS d'intégrabilité 29-09-23 à 15:10

Je corrige une autre erreur: le n est supérieur ou égale à 1 partout.
Et bon, il me semble que je peux démontrer la réciproque maintenant, car qqsoit n1, n+12n. Les séries sont à termes positives, nous pouvons alors nous servir des théorèmes de la comparaison:

$(n+1)\mu(A_n) \leq 2n \mu(A_n)$

$\sum_{n \geq 1}^{}{2n \mu(A_n)} < +\infty \text{ car } \sum_{n \geq 1}^{}{n \mu(A_n)} < \infty \text{ par linéarité}$

D'où le résultat.

Posté par re : Une CNS d'intégrabilité 29-09-23 à 15:37

Quant à 2), en posant $B_n=\{|f| \geq n\}$ , nous remarquons que:

$B_n=\bigcup_{k\geq n}^{}{A_k} (*)$ ..

Il nous faut donc démontrer que:

$\sum_{k=1}^{n}{k \mu(A_k)}=\sum_{k=1}^{n}{\mu(B_k)}-n\mu(B_{n+1})$ ..

J'ai appliqué la mesure à (*) mais je ne suis pas arrivée pas à l'expression souhaitée...

Quant à 3) Je pense au théorème d'Abel...??

Posté par re : Une CNS d'intégrabilité 29-09-23 à 16:01

Quant à 4), je peux déduire une équivalence entre la convergence de $\sum_{n \geq 1}^{}{n\mu(A_n)}$ et la convergence de $\sum_{n \geq 1}^{}{\mu(B_n)}$ à partir des deux questions 2) et 3).. Pour ce faire, il me faut d'abord démontrer que l'intersection des $B_n$ est vide....

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