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Une dernière intégrale double

Posté par derby3 (invité) 07-10-05 à 09:29

Bonjour,
On se propose de résoudre :
ln(1+x+y)dxdy avec : D(x+y<=1,x,y>=0)
grâce à la formule de changement de variable:
u=x+y
v=x-y

Pourquoi la réponse donne :

0.5 ln(1+u)duvu

avec u entre 0 et 1 et  v entre -u et u?

Merci.

Posté par derby3 (invité)re : Une dernière intégrale double 07-10-05 à 09:43

Ah oui, au fait si vous l'avez remarqué, je suis dans une m**de pas possible depuis quelques jours.

En un mot, je dois ingurgiter une bonne partie du programme de maths sup. et spé. en 2 semaines. Ce qui explique que je pose des questions débiles pour certains, mais bon...

Encore une :

pourquoi la formule de chgt de variable en polaire donne: dxdy=PdPdO

Merci.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une dernière intégrale double 07-10-05 à 13:46

Bonjour,moi je la calculerais directement cette intégrale:
\int\int_{D}ln(1+x+y)dxdy=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}ln(1+x+y)dy=\int_{0}^{1}dx[(1+x+y)ln(1+x+y)-(1+x+y)]_{0}^{1-x}=2ln(2)-2-\int_{1}^{2}(xln(x)-x)dx une intégration par parties donne
\int_{1}^{2}(xln(x)-x)dx=[\frac{x^2}{2}ln(x)-\frac{3x^2}{4}]_{1}^{2}=2ln(2)-\frac{9}{4} d'où:
3$\fbox{\int\int_{D}ln(1+x+y)dxdy=\frac{1}{4}}

Sauf erreurs bien entendu

Posté par derby3 (invité)re : Une dernière intégrale double 07-10-05 à 15:30

Ok et pour la 2ème question?

Posté par derby3 (invité)re : Une dernière intégrale double 07-10-05 à 17:20

UP :
pourquoi la formule de chgt de variable en polaire donne: dxdy=PdPdO

Posté par derby3 (invité)re : Une dernière intégrale double 07-10-05 à 17:23

>elhor_abdelali

Excuse moi, mais j'ai une affreuse interrogation:

Pourquoi : SS 0.5 ln(1+u)duvu

Je suis encore (très) novice. Je me suis auto-promu en classe "affaire" (classe autre), et je dois tenir mon rang.

Posté par davidk2 (invité)re 07-10-05 à 17:57

En parlant de rang, sait tu faire la différence entre un rang et une dimension ?(matriciellement parlant).
Et apprends les bases du latex crénon dé diou.
Sinon, connaitre les opérateurs mathématiques serait une bonne base également : divergence, laplacien, laplacien rotationnel, th d'ostradovsky(suffixe de l'élite) etc etc...
Je veux que tu attrapes une tete aussi grosse que la mienne dès que je te revois à la ferme.

Posté par derby3 (invité)re : Une dernière intégrale double 08-10-05 à 08:10

UP

Posté par derby3 (invité)re : Une dernière intégrale double 08-10-05 à 08:36

Ok, tout est réglé sauf ça :

dxdy=PdPdO

P= rhô
o=thêta

Une idée?

Posté par davidk2 (invité)re 08-10-05 à 12:11

Purée, c'est trop difficile de taper ça :
5$dxdy=\rho{d}\rho{d}{\The}

Ca serait déjà plus clair.

Posté par derby3 (invité)re : Une dernière intégrale double 08-10-05 à 16:13

UP, ya pas une âme charitable, pour un mortel qui va bientôt se sacrifier sur l'autel des concours administratifs?

Posté par derby3 (invité)re : Une dernière intégrale double 08-10-05 à 16:15

5$dxdy=\rho{d}\rho{d}{\The}

Merci david, mon post aura peut être plus de succès??

Posté par fedor (invité)reponse 08-10-05 à 16:42

bonjour,

ecrire dxdy = pdpdO n'a pas de sens dxdy represente un element de volume (en faire d'aire manque z ) en cartesien et pdpdO un element de volume ( manque h pour etre en cylindrique ) en polaires

Posté par
ottore : Une dernière intégrale double 08-10-05 à 16:47

Non seulement ca a du sens, mais en plus c'est juste.

Posté par davidk2 (invité)re 08-10-05 à 18:00

De rien derby
Mais tu sais que le latex est très facile à apprendre, j'avais mis une après-midi pour apprendre les bases essentielles.
Ecoute , t'as déjà fais tes preuves intellectuelles pour le concours de géomètre du Cadastre, pourquoi vouloir passer celui d'inspecteur des impots ?
Tu montras en grade plus tard.
Pour ma part, je me destine à etre chef d'un CATTP : en commençant par le statut de patient bien entendu.
Verdict : janvier 2006.

Posté par derby3 (invité)re : Une dernière intégrale double 08-10-05 à 18:15

Tu sais ce que ça veut dire : "être enragé"?

Posté par davidk2 (invité)re 08-10-05 à 18:28

Il m'est arrivé de voguer dans l'espace temps tel l'etre scindé de son Moi. Une entité ésotérique, peut etre à base de flux magnétiques ou ondes sismostatiques, m'a fait comprendre que j'altérais mon expérience dans une mauvaise direction.
Ce que j'ai compris, sans rentrer dans la standardisation héphréno-catatonique(donc scientifique), c'est que chaque etre humain doit prendre une route qui le conduit au bonheur.
Mais comment respecter cette charte en partant de cette originalité d'expérience(non pas les hallucinations classiques dont l'origine s'égraine autour de la déficience mentale) ?
Peut-être vivre tout simplement et éloigner tout pessismisme.
Voilà pour ma copie philosophique
Ps : lecture pour public averti.(bac + 1 minimum)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une dernière intégrale double 09-10-05 à 01:04

Bonsoir derby3
justification de la formule:
3$\fbox{dxdy=\rho d\rho d\theta}
vu que 3$\fbox{et\{{x=\rho cos(\theta)\\y=\rho sin(\theta)} on peut écrire que:
3$\fbox{dx=\frac{dx}{d\rho}d\rho+\frac{dx}{d\theta}d\theta\\dy=\frac{dy}{d\rho}d\rho+\frac{dy}{d\theta}d\theta} ie 3$\fbox{dx=cos(\theta)d\rho-\rho sin(\theta)d\theta\\dy=sin(\theta)d\rho+\rho cos(\theta)d\theta}
et maintenant il faut faire attention au produit 3$\fbox{dxdy} qui est en fait un produit extérieur * de formes différentielles (qui ressemble au produit vectoriel) c'est à dire que:
\fbox{dx*dy=(cos(\theta)d\rho-\rho sin(\theta)d\theta)*(sin(\theta)d\rho+\rho cos(\theta)d\theta)=cos(\theta)sin(\theta)\underb{d\rho*d\rho}_{0}+\rho cos^2(\theta)d\rho*d\theta-\rho sin^2(\theta)\underb{d\theta*d\rho}_{-d\rho*d\theta}-\rho^2cos(\theta)sin(\theta)\underb{d\theta*d\theta}_{0}}
et tu vois bien qu'on a alors:
4$\fbox{dxdy=\rho d\rho d\theta}

Pour plus d'explications tu peux consulter la page:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Forme_diff%C3%A9rentielle

Sauf erreurs...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une dernière intégrale double 09-10-05 à 03:55

Pour la question:
Pourquoi : SS 0.5 ln(1+u)duvu
avec \{{u=x+y\\v=x-y tu as \{{x=\frac{u+v}{2}\\y=\frac{u-v}{2} donc \{{dx=\frac{du}{2}+\frac{dv}{2}\\dy=\frac{du}{2}-\frac{dv}{2} et comme je l'ai expliqué dans mon post précédent on a:
dxdy=|dx*dy|=|\frac{1}{2}\times(-\frac{1}{2})du*dv+\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}dv*du|=|-\frac{1}{2}du*dv|=\frac{1}{2}dudv
et vu que \{{x+y\le1\\x\ge0\\y\ge0 tu as \{{0\le u\le1\\u+v\ge0\\u-v\ge0 ou encore \{{0\le u\le1\\-u\le v\le u et donc que:
3$\fbox{\int\int_{D}ln(1+x+y)dxdy=\int_{0}^{1}\int_{-u}^{u}\frac{1}{2}ln(1+u)dudv}.

Voilà,j'espére que c'est assez clair.
Sauf erreurs...


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