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une équation fonctionnelle
Bonjour,
j'aurais besoin d'une petite aide pour résoudre un problème :
l'énoncé est le suivant : f est une fonction continue sur [0,1] et g(x)= 
(de 0 à x) f(t)dt telles que 
x 
[0,1]
|f(x)|
k|g(x)|, k<1
Je dois montrer que g=0
Dois-je utiliser le fait que l'intégrale d'une fonction continue est de degré supérieur à cette fonction ?
Merci d'avance pour votre aide.
Bonjour cam77
Dois-je utiliser le fait que l'intégrale d'une fonction continue est de degré supérieur à cette fonction ?
je crois que tu confonds avec le degré d'une fonction polynomiale.
Sinon, te conseille d'appliquer le théorème des accroissements finis à g.
Kaiser
Merci pour ta réponse Kaiser !
J'ai appliquer le Théorème des accroissements finis à g, et j'obtiens g'(c) =(g(1)-g(0))/(1-0))
or g'(c)=f(c), je peux réinjecter ceci dans l'inégalité de l'énoncé après ?
j'obtiens g'(c) =(g(1)-g(0))/(1-0))
non, applique ce théorème à g(x), pour x quelconque (et pas que pour 1).
je peux réinjecter ceci dans l'inégalité de l'énoncé après ?
ensuite, oui.
Kaiser
D'accord,
j'obtiens g(x)= xf(c) + g(0) (avec g'(c)=f(c))
en ré-injectant, j'obtiens |f(x)|k|xf(c)+ g(0)|
cependant, je ne vois pas par où passer par la suite ?
Merci beaucoup
D'abord, tu peux te débarrasser du x qui est en facteur (tu peux le majorer par 1).
Ensuite, ce que je te disais est de réappliquer le théorème des accroissements finis à f mais cette fois au point c.
Kaiser
il faut re-remplacer f(c) par g(x) ?
pas vraiment : on majore |f(c)| par k|g(c)|.
de plus, ce n'est pas le même c (on va avoir un point que l'on va noté d)
et montrer que f'(c)=0 ?
non, ce n'est pas ce que l'on va faire. On est toujours sur le f(x) dont on veut montrer qu'il est nul.
Au final, on a montré que
Imagine, que pour n entier naturel non nul, tu fasses ce genre de choses (c'est-à-dire les accroissements finis), quelle inégalité obtiens-tu ?
Kaiser
merci pour ta réponse, je dois y aller mais je m'y remet ce soir,
merci encore et je réfléchis à cette inégalité
euh non.
Je te demandais quelle inégalité on obtient en utilisant les accroissements finis n fois comme on l'a fait.
Kaiser
ah d'accord, pardon,
on obtient : |f(x)| k|g(c)|
|f(x)| k²|g(d)|
|f(x)| k3|g(e)| (avec e [0,1])
.
.
.
|f(x)| kn|g(x)|
ce raisonnement est-il correct ?
Non, c'est bien ça, sauf que à la fin, prends pas x comme lettre.
Disons que pour tout n, il existe un élément de [0,1] tel que
.
Ensuite ?
Kaiser
il faut montrer que Cn est racine de g (g(Cn)=0) ?
De manière à conclure que f=0, grâce aux valeurs absolues ? Mais je n'arrive pas à trouver comment y
parvenir...
non.
Il suffit simplement de majorer : tu sais que g est continue sur le segment [0,1] donc ...
Kaiser
M=sup g(I) avec I=[0,1]
non, ce n'est forcément vrai.
Par contre, on sait que g est bornée, et c'est tout ce dont on a besoin.
Kaiser
d'accord, c'est ce que je pensais faire tout à l'heure mais je me suis mal exprimé,
on sait que k<1, il faut donc que M=0 ?
Dans mon message de 23h02 : on n'obtient un truc sympa lorsque l'on fait tendre n vers l'infini, par hasard ?
Kaiser
AH si !!!
lorsque n tend vers l'infini, k<1 tend vers 0 
merci bc kaiser !!!
on obtient donc |f(x)|0, d'où f=0
Re, bonjour,
je me demandais en revenant sur le sujet, comme vous trouvez la formule |f(x)|k|g(c)|
dans le message de 19H00 ?
car je n'arrive pas à la retrouver !
Merci bc d'avance !
Je ne comprends pas comment vous passez de la 1ère à la 2ème ligne ? càd la relation qu'il y a entre f(d) et g(c) etc,
merci.
je viens de corriger mon message.
Sinon, le d vérifie g(c)=cg'(d)=cf(d) (accroissements finis).
Donc (car c est entre 0 et 1)
Pour le passage de la première à la deuxième ligne, j'utilise simplement l'hypothèse de l'énoncé (l'inégalité entre f et g)
Kaiser
ah d'accord, j'ai compris ! , mtn je réitère ceci n fois pour retrouver f=0, c'est bien cela ?
Il n'y a pas d'autres méthodes pour montrer dans un premier temps que g=0 puis que f=0 ?
Merci.
oui, c'est bien ça.
Il n'y a pas d'autres méthodes pour montrer dans un premier temps que g=0 puis que f=0 ?
Tu peux refaire la même chose en appliquant les accroissements finis à g(x) :
Kaiser
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