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Une équation fonctionnelle.
Soit continue et telle que
Prouver que est constante
Bonjour...
Bah si on dérive...
Ona (1+f'(x))f'(x)=f'(x)
d'ou 1+f'(x)=1
et f'x)=0
Enfin je crois qu'il y a un probleme quand meme
Bonjour Mandine;
A priori n'est pas supposée dérivable mais seulement continue.
Si on la suppose dérivable on a par dérivation:
oui en effet...
Bah avec la continuité faur peut etre utiliser le théoreme de rolles ou un truc du genre...
Les exercices de elhor, on a toujours envie de s'y plonger, sans attendre!
J'ai trouvé que n
1, fn(o) = f(o)
Bonsoir.
On peut prouver aisément par récurrence que :
pour tout entier n, et tout réel x, f(x + nf(x)) = f(x).
Ensuite, en posant x + nf(x) = t, on vérifie que l'égalité précédente est vraie pour tout entier relatif n.
J'aurais aimé poursuivre avec n dans 
puis utiliser la densité. Pour le moment, rien de plus.
Elhor_abdelali : j'ai lamentablement séché sur ton précédent message (minimum dans un triangle équilatéral). As-tu une piste ?
Cordialement RR.
Bonjour.
Je reprends mon résultat d'hier soir :
pour tout n entier et tout x réel, f(x + nf(x)) = f(x).
Considérons un réel x quelconque et bâtissons la suite xn = x + nf(x).
Alors, pour tout n, f(xn) = f(x).
Supposons que, dans l'intervalle ]x,x1[ il existe x' tel que f(x')
f(x).
Construisons alors la suite x'n = x' + nf(x').
On a aussi pour tout n, f(x'n) = f(x').
Les deux suites (xn) et (x'n) sont arithmétiques, de raisons distinctes.
Intuitivement : Pour tout 
> 0, il doit exister deux entiers p et q tels que :
|xp - x'q| < .
Et comme f(xp) = f(x) et f(x'q) = f(x') sont distincts, cela contredit la continuité de f.
J'aimerais que quelqu'un prouve mon "intuition" : graphiquement cela semble évident. En particulier, si f(x) et f(x') sont rationnels, il existe p et q tels que xp = x'q.
Cordialement RR.
Allez , une piste quand même 
Avec et
on pourra commencer par montrer que est une bijection croissante et que
raymond si j'ai bien compris, tu demandais si dans deux suites arithmétiques de raisons distinctes, on peut toujours trouver un point de l'une et un point de l'autre aussi proches que l'on veut ?
Bonjour stokastik.
Effectivement, c'est le point que je ne parvenais pas à montrer dans ma preuve.
Quand je vois la piste que nous indique elhor_abdelali, je constate que ce que j'ai fait consiste à étudier les itérées de la fonction g.
Cordialement RR.
Pour ce problème de point d'accumulation je pense à ceci :
Soient u et v deux suites arithmétiques de raisons p et q respectivement (indexées par Z). J'identifie le quotient de R par pZ au tore de dimension 1 T=R/Z en divisant par p. Sur T les points de u se retrouvent tous en 0, la suite v devient une suite arithmétique de raison q/p. C'est une orbite sur T pour la translation x->x+q/p.
Or je sais que cette orbite est dense si q/p est irrationnel, périodique sinon. Dans le cas où q/p est irrationnel je peux donc approcher 0 d'aussi près que je veux avec un point de cette orbite. Ceci signifie que dans les suites u et v je peux trouver un point de l'une et un point de l'autre aussi proches que je veux.
Ca semble correct ?
Il me semble que ton raisonnement soit tout-à-fait correct. Il est à rapprocher du théorème : tout sous-groupe additif de R est soit discret soit dense. Donc ma preuve est convenable.
Pour utiliser la piste d'elhor_abdelali, je reprends un point de l'un de mes précédents messages dont je n'avais pas écrit la preuve.
f(x + f(x)) = f(x). Posons x + f(x) = t, alors f(t) = f(x).
Donc, t = x + f(x) = x + f(t).
Alors, x = t - f(t). En prenant l'image de ces deux membres par f : f(x) = f(t - f(t))
Donc, pour tout t : f(t - f(t)) = f(t).
Alors : g°h(x) = g(x - f(x)) = x - f(x) + f(x - f(x)) = x - f(x) + f(x) = x
De même pour h°g. On a donc bien h = g-1.
Pour la suite ...
Cordialement RR.
En fait je ne comprends pas à la fin de ta preuve : "En particulier, si f(x) et f(x') sont rationnels, il existe p et q tels que xp = x'q." ?
C'est une erreur de ma part, causée par une représentation graphique qui tombe sur un cas particulier. Voici un contre exemple :
xp = 3 + 4p (x = 3, f(3) = 4)
x'q = 4 + 6q (x' = 4, f(4) = 6)
xp = x'q équivaut à : 4p - 6q = 1, ce qui est impossible.
Cela rejoint ton message : la densité du sous-groupe ne se produit que pour des valeurs irrationnelles de la raison. Ceci pose d'ailleurs un problème délicat dans ma preuve :
f(x) ou f(x') doit être irrationnel. J'avoue ne plus trop croire en sa véracité.
Cordialement RR.
Désolé raymond , je n'avais pas fait attention à ton post du 28/07/2006 à 00:34 pour le problème du triangle équilatéral j'avoue que je cherche encore et pour être plus précis j'avais vu cet exercice sous la forme équivalente :
Bonsoir elhor_abdelali.
En ce qui concerne le problème du triangle équilatéral, j'ai fait remonter la question.
Pour ce qui est de l'équation fonctionnelle, après quelques divagations stériles, je me suis penché sur ta piste du 28-07. Si je suis arrivé à prouver que g et h étaient deux bijections réciproques continues, je ne parviens pas à utiliser ce résultat pour prouver que f est constante.
Tes sujets sont des petites merveilles, et en plus, ils ont la vertu de me rendre très modeste !
Cordialement RR.
Bonsoir raymond;
Je poste mon raisonnement,
On a pour tout réel
donc
est injective et comme elle est continue elle est strictement monotone
ne peut pas être décroissante car sinon
serait croissante mais alors
serait décroissante
un petit raisonnement par l'absurde donne que et
il est ensuite immédiat que
on s'intérésse maintenant à l'ensemble
(remarquer que c'est une partie non vide de
)
un petit calcul montre que pour
et donc en particulier
si et
désignent les bornes inférieure et supérieure de
on doit donc avoir
c'est à dire que
et on voit qu'avec on a
et
est bien constante
(sauf erreur)
Pas mal.
Ne pourrait-on pas aussi utiliser la méthode de raymond (posté le 28/07/2006 à 10:39), il resterait à démontrer que si f est une fonction continue on ne peut pas avoir f(x)/f(x') irrationnel quels que soient x et x' ?
Bonjour
elhor_abdelali : merci pour cette preuve à laquelle je n'aurais pas pensé. Elle rappelle les démonstrations que l'on utilise pour montrer les propriétés des fonctions convexes.
Bravo pour les formules donnant m(x,y) en fonction de m(g(x)),g(y)) et de m(h(x),h(y)).
stokastik : je pense que tu veux dire "on ne peut pas toujours avoir f(x)/f(x') rationnel".
Je pense à ceci :
soient x et x' tels que x < x' < x + f(x) tels que f(x)
f(x').
Si f(x') est rationnel, la continuité de f permet de trouver un x" assez voisin de x' tel que l'on ait encore f(x) f(x"), mais avec f(x") irrationnel.
Qu'en penses-tu ?
A propos : désolé de ne pas avoir été suffisamment pointu pour les intervalles de confiance.
Bien cordialement à tous les deux.
Oui je voulais dire rationnel, si f n'est pas constante.
Je ne comprends pas ton encadrement " x < x' < x + f(x) " ? Mais oui on est d'accord : si f(x)/f(x') est rationnel, c'est rationnel/rationnel ou irrationnel/irrationnel et il suffit de trouver x'' proche de x' tel que f(x') change de nature et hopla.
Donc ta preuve est OK.
Maintenant je me demande : existe-t-il une fonction f continue telle que f(x)/f(x') irrationnel quels que soient x et x' distincts ?
Par définition de f, elle prend les mêmes valeurs, en tout point du type : x + nf(x), n entier.
Mon idée est donc d'étudier son comportement entre x et x + f(x). D'où la raison de mon encadrement.
Pour la question que proposes, je regarde ...
Originaire d'Alsace, j'apprécie le "hopla" !
Cordialement RR.
Une idée : f(x) = exp(x). Alors f(x)/f(x') = exp(x - x') est irrationnel pour tout couple (x,x') pourvu que x et x' soient distincts.
En fait nous sommes stupides ce n'est pas possible, à x' fixé, la fonction x -> f(x)/f(x') est continue elle prend donc des valeurs rationnelles
Bonjour
Je pense que l'on doit pouvoir adapter la méthode de Raymond, en choisissant par le théorème des valeurs intermédiaires un point tel que f(x)/f(x') soit irrationnel. Comme il raisonne par l'absurde, il dit supposons q'il existe x' tel que f(x')diff de f(x). Mais alors par continuité on peut trouver un point y tel que f(y) soit encore différent de f(x) et tel que f(y)/f(x) soit irrationnel si ce n'était pas le cas de x'.
Au revoir!
Allez examinons cela Camélia;
(*)Si est identiquement nulle elle est constante.
(*)Sinon soit un réel tel que
.Raisonnons par l'absurde en supposant que
n'est pas constante et soit
un réel tel que
.L'application
est continue et prend les deux valeurs distinctes
et
elle prend donc au moins une valeur irrationnelle en un certain réel
.
On considére les deux suites .Par densité du groupe
dans
pour tout réel
on a l'existence de deux entiers relatifs
et
tels que
c'est à dire tels que
.
Et maintenant il faut faire attention car les deux suites et
ne sont pas bornées et il faut plus que la continuité de
pour pouvoir contrôler
à partir de
.
Je donne un exemple les réelles et
} peuvent être rapprochés autant que l'on veut et poutant
(sauf erreurs)
Bonsoir.
Le problème du contrôle de f(xn) et de f(yn) ne me paraît pas se poser puisque, pour tout n, f(xn) = f(x) et f(yn) = f(y).
Mais je peux me tromper.
Cordialement RR.
Justement raymond , le fait que peut être aussi petit que l'on veut alors que
ne méne pas forcément à une contradiction avec la continuité de
ça aurait été le cas si
était uniformément continue (ce qui n'est pas dans l'hypothése)
Bonjour.
La méthode d'eldor_abdelali reste donc la seule valable. Tant pis, cela prouve que plus les données sont restreintes plus il faut être vigilant.
Merci à tout le monde pour ce super exercice.
Cordialement RR.
Si je ne me trompe pas, du fait que les fonctions g et h d'elhor sont croissantes, on déduit que f est lipschitzienne, donc uniformément continue.
OK! elhor_abdelali a raison! Il ne faut jamais se laisser à écrire avant d'avoir tout rédigé! En revanche, je suis presque sûre que stokastik a tort. La fonction f(x)=x^3 est strictement croissante et non uniformément continue sur IR.
A bientôt!
Bonjour Camélia et stokastik.
Effectivement :
g et h croissantes signifie -(x - y) 
f(x) - f(y) x - y avec x - y 
0.
Cela est-il suffisant pour accrocher le côté lipschitzien de f ?
Cordialement RR.
Camélia je n'ai jamais dit que croissante => uniformément continue!
raymond on obtient, pour x<y : f(x)-f(y) =< y-x et f(y)-f(x) =< y-x donc |f(y)-f(x)| =< y-x.
Rebonjour! Si on prend f(x)=x^3, on a
|f(x)-f(y)|/|x-y|=x^2+xy+y^2
qui est aussi grand que l'on veut, même si |x-y| est petit. Ce n'est donc pas lipschitzien!
Bonjour.
J'ai beaucoup séché sur cet exercice, alors je lis vos réponses toutes intéressantes... et je vous demande un renseignement que le webmaster ne me donne pas:
comment faire les valeurs absolues en La Tex?
Merci!
Une question :
elhor_abdelali utilise le fait que est un sous-groupe dense de
si et seulement si
est irrationnel. Ca se démontre comment ? Ceci est équivalent au résultat que j'énonce sur les orbites d'une translation sur le tore.
Stokastik> connais-tu un résultat selon lequel tout sous-groupe de est soit dense, soit de la forme
avec a un réel positif ?
Si oui, alors cela permet de conclure.
Ah oui ok ça permet de conclure plus vite que je ne pensais, je ferais bien d'arrêter les maths pour aujourd'hui.
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