Bonjour !!!!!!!!!!
Un peu de politesse bon sang !!!!!!!!!

Je dirais que ça a un rapport avec la tangente hyperbolique ...

Je m'excuse d'être si peu courtois? mais c'est que je sèche sur cet exercice alors ça m'énerve. Si quelqu'un peut m'aider...

J'ai fini par trouver: les solutions sont la fonction constante égale à 1, la fonction constante égale à -1, et toutes les fonctions xth(x) avec . C'est marrant car la fonction constante égale à 1 correspond au cas limite où tend vers l'infini (idem pour -1). S'il y'a quelqu'un que ça intéresse, je peux donner la solution...

Salut,

moi ca m'intéresse si ca te dérange pas.

On étudie la fonction :2/(1+²), et on remarque que f()[-1,1]. S'il existe x réel tel que f(x)=1 alors pour tout n entier naturel f(x/2ⁿ)=1, or f est continue, car dérivable, en 0 donc f(0)=1. Mais alors pour tout  x réel, la suite
(f(x/2ⁿ)_n converge vers 1, ce qui impose d'après l'étude de qu'elle est constante égale à 1. Donc dans ce cas f est constante égale à 1. On fait la même chose pour -1, et il reste donc à traiter le cas où f()]-1,1[, auquel cas f(0)=0 puisque f(0) est un point fixe de .
Dans ce cas, on suppose dans un premier temps que f'(0)=0, alors pour tout x non nul la suite (f(x/2ⁿ)/(x/2ⁿ))_n converge vers f'(0), soit 0. Or le module de cette suite est croissant car |(f(x))|2|f(x)|, donc cette suite est constante égale à zéro, et donc f est nulle.
Dans le cas où f'(0)=0, on peut supposer que =1 quitte à remplacer f par xf(x/), et on étudie alors
g(x)=f(x)-thx. g est dérivable en 0 et g'(0)=0, et de plus g(2x)=2g(x)(1-f(x)thx)/[(1+th²x)(1+f(x)²)], donc |g(2x)/2x||g(x)/x|, et on conclut de la même manière que pour le cas où f'(0)=0: g est nulle.

Je te remercie