Bonjour

Ce n'est jamais facile... Ici j'essayerais d'appliquer le théorème des accroissements finis à une solution . Sans garantie...

Merci Camélia ...

Oui, j'ai vraiment du mal avec les équa diff non linéaire. Je vais voir si je peux m'en sortir avec ton indice ...

Sinon je te fais signe

Je ne vois pas comment partir avec ton idée de TAF ...

Je sais que le problème de Cauchy précedent admet une unique solution maximale définie sur un intervalle ouvert ]c,d[. Soit cette solution.

Sur [t1,t2] inclus dans ]c,d[, Il existe t3 dans ]t1,t2[ tq :

Oui, mais et f est bornée par hypothèse. Donc au moins sur un intervalle ]c,d[ borné la solution est bornée. Je suis plus ennuyée pour le justifier pour un intervalle non borné. On a déjà vu des fonctions à dérivée bornée tendre vers +...

Merci déjà pour ce premier point ...

Mais c'est vrai que la question peut se poser ... Après, il y a peut-être une faute d'énoncé, mais je ne pense pas, c'est un sujet d'oraux posé à l'X en 2005

Je continue de chercher. Merci déjà de m'avoir donné une idée !

Pour le cas général, on doit pouvoir faire semblant de la résoudre. Après tout elle est à variables séparées. Si f ne s'annule pas sur un intervalle, si on note F une primitive de 1/f, on doit bien pouvoir écrire quelque chose...

Bonjour, Lyonnais

Tu appliques d'abord le théorème de Cauchy, qui affirme l'existence d'une solution maximale (]c,b[,x).
Ensuite, on suppose que b est fini, et on remarque que, pour tout t de [0,b[:

Maintenant, x' est continue et bornée sur l'intervalle [0,b[ (puisque x'(u)=f(x(u))). On en déduit qu'elle est intégrable sur [0,b[.
Donc

A partir de là, on peut prolonger x sur l'intervalle ]c,b] en une fonction de classe C^1 qui est solution du problème de Cauchy étudié (je te laisse écrire les détails). Ceci contredit la maximalité de la solution (]c,b[,x).

Donc, b est infini. De même a est infini.


Ceci montre donc que toute solution maximale est définie sur R. Tu vas me répondre que ce n'était pas ce résultat que tu demandais, mais le fait que toute solution est bornée sur R. Ce résultat est faux, comme te montre l'étude du cas où f(t)=1, la solution étant dans ce cas , qui n'est pas bornée sur R.

Merci perroquet, j'avais comme un mauvais pressentiment...

Je suis vraiment bien devancé. Bonjour, camélia. Et au revoir, parce que je me déconnecte

Pour cause de brocante  

Merci énormément perroquet, j'ai compris l'astuce !!

Par contre en effet, c'est bizarre ... Je suis d'accord avec ton contre exemple.

Camélia, ton intuition était donc la bonne, j'ai pourtant recopié texto l'énoncé.

Merci à tous les deux, je commence à mieux comprendre les équations non linéaires ...

A bientôt

^{Bonne brocante}

> perroquet J'ai une brocante en bas de chez moi en ce moment!