as t-on forcément que est un polynome unitaire scindé sur ??
si oui pourquoi?

(parce que ça résoudrais mon probleme!)

Salut robby

Que sigifie "semi-definie positive" ?

D'autre part, tu sais que toute matrice symétrique réelle (au fait, elle est bien réelle cette matrice ??) est diagonalisable donc en particulier, son polynôme caractéristique est scindé sur .
dans ce cas, P(-X) serait scindé et donc P(X) aussi (par contre, il n'est pas forcément unitaire : son coefficient dominant est ).

Kaiser

Salut Kaiser,
semi-définie-positive c'est que pour tout vecteur colonne x dans \mathbb{R^n}
tu as

(vu qu'il n'est pas forcément unitaire,ça ne m'aide pas! )

ah OK, moi j'appelle ça "matrice symétrique positive" tout court.

par contre, je me suis mal exprimé : P(-X), le polynôme caractéristique n'est pas unitaire mais P(X), lui, l'est effectivement.

Par contre, un truc bizarre : cette équivalence est louche car pour une matrice symétrique positive, ses valeurs propres sont toujours positives ou nulles.

Kaiser

C'est un peu bizarre de montrer une équivalence entre deux choses qui sont toujours vraies (ça serait un peu la même chose que de montrer que 1=1 et 2=2 sont équivalents).

Kaiser

mézalors,comment montrais-tu cette équivalence?
tu trouves ça si triviale?

je n'ai pas dit que je trouvais ça trivial mais je disais que ça n'avait pas de sens de montrer cette équivalence :

Mais bon, on va quand même montrer et je pense qu'à un moment, tu vas voir un truc qui coince :

on va commencer par montrer la première implication. Pour cela, commence par exprimer P(X) en utilisant les valeurs propres de A (que l'on va noter ).

Kaiser

je ne vois pas du tout...


je dois écrire A sous la forme ??
je vois pas trop là!

non, tu connais les racines du polynôme caractéristique donc tu peux écrire la forme factorisée du polynôme P (c'est ce que je te demandais quand je disais d'exprimer P à l'aide des valeurs propres de A).

Kaiser

j'ai
et donc

non?

1) tu as oublié un dans l'expression du polynôme caractéristique.
2) quand le signe "moins" sort du produit, il sort à la puissance n.

Kaiser

mais le polynome caractéristique,je le vois comme
et ainsi si je prend

il est unitaire, égale à non?



si je suit ton 1) et 2)

j'aurais donc d'ou la premiere implication...



réciproquement,si a tout ses coefficients positifs ou nuls,donc ses racines sont négatives ou nulles,mes les racines de ce sont -(les racines du polynome caractéristique) non?
d'ou la 2eme implication?

justement, il n'est pas unitaire : si tu prends la définition du polynôme caractéristique comme étant le déterminant de A-XI, alors il y a effectivement un -1 puissance n qui traine.


Cela dit, là où je voulais en venir tout à l'heure c'est que, par exemple, pour la deuxième implication, tu n'as pas besoin de savoir que P a tous ses coefficients positifs pour dire que les valeurs propres sont positives (puisque la matrice est positive).
Sinon, en dehors de ça, OK pour les implications.

Kaiser

Mais je t'en prie !