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une exo en 3 parties
Bonjour
voilà un exo sur les suites qui me pose quelques petits problèms:
a et un réel et (Un) une suite tel que: Uo=a et Un+1= e^Un/(n+2)
1) cas avec a= 1/2
--calculer la valeur exacte de U1 et U2 (j'ai fait)
--donner pour U1 et U2 un encadrement d'amplitude 10^-2 à bornes décimales (je ne comprends pas ce que cela veut dire)
--montrer que pour tout n entier naturel on a : 0< Un 
1 (j'ai fait)
--montrer que la suite (Un) converge vers 0 (BESOIN D'AIDE)
2)cas avec a = 2
--calculer U1; U2 et u3 et donner une valeur approchée pour chacun(c'est bon)
--f définie sur [0; +oo[ par: f(x)= e^x - (x+1)(x+2)
-étudier le signe de f''; montrer que f' est strictement positive sur
l'intervalle [2, +oo[ (j'ai fait)
-déduire de CE QUI PRECEDE que f est strictement positive sur l'intervalle [3, +oo[ (BESOIN D'AIDE)
--montrer que pour tout n
0, on a Unn -->mon idée:enfaite en utilisant la récurence on doit pouvoir démontrer que e^Un-(n+1)(n+2)/ (n+2) mais je n'y arrive pas à prouver que le numérateur est positif pour tout n (BESOIN D'AIDE)
--montrer que la suite (Un) diverge vers +oo (BESOIN D'AIDE)
3)CAS Général
a est un réel quelconque. On désigne par E(a) l'ensemble des indices n> 0 tels que Un est strictement inférieur à 1:
--déterminer E(1/2) et E(2)
--démontrer que si E(a) n'est pas vide, la suite (Un) converge vers 0
--démontrer que si E(a) est vide, on a :
pour tout n
, Unln(n+2) et en déduire, dans ce cas, que la suite (Un) diverge vers +oo
------>alors pour le 3)CAS Général, j'aurais besoin d'aide pour toutes les questions
la question 1) b) te demande juste de calculer une approximation à 0.01 par défaut et par excès pour encadrer tes valeurs exactes 
t'as montré que Un <= 1 pour tout n donc tu peux majorer U(n+1) par e/(n+2) qui tend vers 0
or Un est une suite à valeur positive donc par le théorème des gendarme ou théorème d'encadrement on a Un -> 0 nan ?
Si f' est strictement positive sur [2;+oo[ alors f est strictement croissante sur [3;+oo[. De plus f(3)=e^3 - 4/5 > 0 Donc f est strictement positive sur [3,+oo[
si on prouve que U(n+1) converge vers 0 alors Un converge aussi vers +oo? c'est ce que tu veux dire dementor?C'est la récurrence??
ah d'accord johnrawls ! bien sûre !
Tu dois le démontrer par récurrence.
Pour n=0 on a u0=2 >0 donc ok pour n=0.
Supposons que pour tout n€N un > n
On a alors (e^un)>e^n soit : un+1 > (e^n)/n+2
Or tu viens de démontrer que f>0 sur [3;+oo[ c'est-à-dire que
(e^n)-(n+2)(n+1)>0 soit en passant (n+2)(n+1) dans l'autre membre puis en divisant par n+2 : (e^n)/n+2 > n+1
Hérédité ok . T'as plus qu'à conclure!
Ta suite (un)diverge forcément vers +oo vu que je viens de te démontrer par récurrence que pour tout n€N un>n ==> quand n tend vers +oo, un ne peut que tendre vers +oo d'après le théorème de prolongement des inégalités.
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