Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Maths sup
Partager :

Une formule d'inversion

Posté par arimix (invité) 11-07-07 à 03:07

calculer pour 0\le s\le n

\sum_{k=1}^n (-1)^{n-k}\(n\\k\)\(k\\s\)
Voila le debut du probleme et je ne vois pas comment faire si l'on pouvait m'aider please.
Merci d'avance

Posté par
veleda
re : Une formule d'inversion 11-07-07 à 07:51

bonjour,
çc fait penser à la formule d'inversion de Pascal

Posté par Scott_parker (invité)re : Une formule d'inversion 11-07-07 à 10:19

Tu veux trouver quoi , je trouve bien une formule mais c'est encore en fonction de combinatoires

Posté par arimix (invité)re : Une formule d'inversion 11-07-07 à 16:49

Ben il faut arriver à simplifier cette formule au maximum.
Apres je ne sais pas pas à quel résultat arriver.
Proposez toujours vos formules.

Posté par
Cauchy
re : Une formule d'inversion 11-07-07 à 17:33

Bonjour,

dans la somme ca commence à s non?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Une formule d'inversion 11-07-07 à 17:35

Tiens, salut Cauchy!

L'équipe de nuit est en avance, on dirait!

Posté par
Cauchy
re : Une formule d'inversion 11-07-07 à 17:40

Salut Tigweg,

un peu en avance oui

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Une formule d'inversion 11-07-07 à 17:41



Cela dit par convention le coefficient binômial vaut 0 si k

Posté par
Cauchy
re : Une formule d'inversion 11-07-07 à 17:51

Tu peux remarquer que:

4$\(n\\k\)\(k\\s\) = \(n\\s\)\(n-s\\k-s\) et ensuite injecte dans la somme et pense au binôme de Newton.

Posté par
raymond Correcteur
re : Une formule d'inversion 11-07-07 à 17:56

Bonsoir à tou(te)s.

On remarque que, (sauf erreur) 2$\textrm \(n\\k\)\(k\\s\) = \(n\\s\)\(n-s\\n-k\)
Ceci semble permettre de retomber sur (1 - 1)n-s, donc, je trouve que cette somme est nulle.
A confirmer !!!

A plus RR.

Posté par
raymond Correcteur
re : Une formule d'inversion 11-07-07 à 17:57

Bonsoir Cauchy.

Je n'ai pas copié ton message, je suis simplement beaucoup plus lent que toi.

A plus RR.

Posté par
Cauchy
re : Une formule d'inversion 11-07-07 à 18:00

Bonjour raymond,

je le sais bien

Posté par arimix (invité)re : Une formule d'inversion 11-07-07 à 18:18

Merci beaucoup pour l'aide alors je suis arrivé

n\choose sn-s\choose n-k
Je dis que c'est égal à : (1-1)^{n-s}n\choose s
Donc c'est égale  à zéro. sauf pour le cas ou n=0 c'est égale à 1 non ?

Posté par
Cauchy
re : Une formule d'inversion 11-07-07 à 18:22

Le cas n=0? Il n'y a meme plus de terme dans la somme..

Posté par arimix (invité)re : Une formule d'inversion 11-07-07 à 18:42

ça ne fait pas (1-1)^0 {0\choose 0}

Posté par arimix (invité)re : Une formule d'inversion 11-07-07 à 18:42

ceci était une question

Posté par
Cauchy
re : Une formule d'inversion 11-07-07 à 18:48

Pour n=0, tu sommes aucun élément donc ca fait 0.

Posté par arimix (invité)re : Une formule d'inversion 11-07-07 à 18:56

Ok merci pour l'aide

Posté par
Cauchy
re : Une formule d'inversion 11-07-07 à 19:01

De rien

Posté par arimix (invité)re : Une formule d'inversion 11-07-07 à 19:25

je suis vraiment désolé d'insisté mais je viens d'ouvrir un de mes cours de math j'ai peut-être mal pris le cours mais il dit :

\sum_{k=0}^n (-1)^k {k\choose n}=(1-1)^n

si n \ge 1 égale 0
si n=0      égale 1
C'est juste pour ne pas rester sur un doute.
Merci d'avance.

Posté par
Cauchy
re : Une formule d'inversion 11-07-07 à 19:27

Ok je crois que c'est parce que par convention: C(0,0)=1, en plus j'ai dit une c.. il y a un terme dans la somme et c'est celui la.

Posté par arimix (invité)re : Une formule d'inversion 11-07-07 à 21:14

ok merci donc si n=0 alors la somme vaut bien 1 ??

Posté par
Cauchy
re : Une formule d'inversion 11-07-07 à 21:23

Oui, par convention C(0,0)=1, enfin à vrai dire ce cas la est pas très intéressant.

Posté par arimix (invité)re : Une formule d'inversion 12-07-07 à 16:21

merci pour toute l'aide c'était le debut du probleme.
J'essaye de faire le suite mais je ne vois pas vraiment comment resoudre le probleme c'est le suivant :
Ou (a_n)_{n\in \mathbb{N}} et (b_n)_{n\in \mathbb{N}}  deux suites complexes liées par l'indentité suivante
pour tout n appartenant a IN ,
b_n=\sum_{k=0}^n {k\choose n}a_k
et il faut arriver à ce résultat:
a_n=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}{k\choose n}b_k

Pouvez vous me donner une piste svp. merci d'avance

Posté par
Cauchy
re : Une formule d'inversion 12-07-07 à 16:42

Salut,

c'est pas plutot le n en haut dans ta première formule?

Posté par
raymond Correcteur
re : Une formule d'inversion 12-07-07 à 17:01

Bonjour.

Je pense qu'il faut aller voir du côté des matrices.
En effet, la formule donnant bk en fonction de a0, ... , ak pour 0 < k < n fait apparaître une matrice carré A d'ordre n+1 triangulaire inférieure :

2$\textrm A = \begin{pmatrix}C(0,0)&0&0&...&0\\C(1,0)&C(n,1)&0&...&0\\.\\.\\.\\C(n,0)&C(n,1)&C(n,2)&...&C(n,n)\end{pmatrix}
où C(n,k) représente 2$\(n\\k\).

Si l'on traite le problème inverse, (les ap en fonction des bq), on trouve également une matrice triangulaire inférieure B d'ordre n+1 :

2$\textrm A = \begin{pmatrix}C(0,0)&0&0&...&0\\-C(1,0)&C(1,1)&0&...&0\\.\\.\\.\\(-1)^nC(n,0)&(-1)^{n-1}C(n,1)&(-1)^{n-2}C(n,2)&...&C(n,n)\end{pmatrix}

Le produit de ces deux matrices nous fait revenir à la formule de la question précédente :

2$\textrm\Bigsum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\(n\\k\)\(k\\s\) = (1 - 1)^{n-s} = \delta_{n,s}. (Kronecker)

Ce qui signifie que A.B = B.A = In+1.

Sauf erreur, à plus RR.

Posté par arimix (invité)re : Une formule d'inversion 12-07-07 à 17:04

oui escuse moi cauchy j'ai inversé.

Posté par
raymond Correcteur
re : Une formule d'inversion 12-07-07 à 17:12

Moi aussi erreur de frappe : la seconde matrice s'appelle B. Sorry !

A plus RR.

Posté par
Cauchy
re : Une formule d'inversion 12-07-07 à 17:45

Sans passer par des matrices, injecte dans l'expression  de b_k avec les a_k puis utilise ce qu'on a montré au-dessus.

Posté par arimix (invité)re : Une formule d'inversion 13-07-07 à 17:22

salut cauchy j'ai pas vraiment compris ce que tu veux que je fasse.

Posté par
Cauchy
re : Une formule d'inversion 13-07-07 à 21:08

Je voulais dire dans la formule donnant a_k en fonction des b_k tu pars de l'expression sous forme de somme, puis tu remplaces b_k par la somme de ta première formule, ca te donne une somme double et en utilisant ce qu'on a montré avant tu reconnais des termes nuls pour simplifier.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1741 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !