désolé, je ne comprends pas ce que tu fais (tu n'as pas mis le dénominateur sous la forme 1-u).

Kaiser

non je me suis plantée, ou là là

donc 1/ (2t - t³/6 + o(t³)= (1/2t) * (1/1-t³/6 + o(t³)  

là je peux faire le dl?  avec -u= -t³ + o (t³)  mais mon problème c'est pour le o(t³)  

enfin à peu près avec au lieu de t³/6, t³/6*2t  

tout d'abord, tu t'es trompée en factorisant.
Ensuite, oui, tu peux faire le DL car

Kaiser

j'ai donc  (1/2t) * (1+t²/12-o(t²))=a/t+bt+o(t)

et là je dois chercher a et b?

oui, pour cela il suffit de développer l'expression de gauche et d'identifier.

Kaiser

je trouve a=1/2

b=1/24

et j'ai compris comment il faut faire   merciiii

ouf


est-ce que tu pourrai m'expliquer encore une ou deux petites choses?

vas-y !

Kaiser

merci beaucoup

tu es super


alors on me donne une fonction y de ]0,+[ dans R
lim y(x)=0 quand x-->0+

Je dois montrer que lim ( sup |y(x)|pour x [t,2t])=0 quand t tend vers 0+ et en déduire que si h est une fonction continue de ]0,+[ dans R telle que h(t)=o(t) au voisinage de 0, alors h(x)dx entre t et 2t est égale à o(t²) au voisinage de 0

là je ne sais absolument pas quoi faire de but en blanc

Pour la première partie de la question, essaie de revenir à la définition de la limite (avec les ).
Pour la deuxième partie de la question, remarque que

Kaiser

pour la première partie je dirai

que lim y est 0 en 0+ veut dire >0, >0, xR, |x-0| |y(x)-0|

oui, maintenant, il faut s'intéresser au sup.

Kaiser

là ça pêche un peut j'avoue
et de plus je n'ai pas très bien compris car c'est le sup pour x [t,2t]  et la limite quand t->0+

Oui x est une variable muette. c'est t que l'on fait varier
On utilise ce que tu as fait précédemment :
ensuite on a que

,
par définition de la borne supérieure
donc à quelle condition sur t, a-t-on ?

Kaiser

je dirai t>0, mais ça n'a pas l'air de correspondre, n'est-ce pas?

alors je ne sais pas du tout!

de toutes façons on a t > 0 (d'ailleurs, pour être correct, j'aurais ouvrir l'intervalle en 0 dans le sup).

Pour que ce dernier sup soit inférieur à epsilon, il faut que pour tout de [t,2t], donc ...

Kaiser

donc

quand t->0, |y(x)| aussi et donc aussi le sup?

on n'a pas encore ça (j'avais dit qu'il nous fallait montrer qu'on avait cette majoration pour x assez petit).
Il faut trouver une condition sur t pour que cette inégalité soit vraie.
On a vu que c'était possible dès que mais on veut que ce soit vrai dès que , lorsque t est bien choisi. Comment doit-on alors choisir t pour que cela soit vrai ?

Kaiser

t</2 ?

je suis désolée j'ai un peu de mal avec tous ces passages...

?

oui, c'est tout à fait ça.
Dès que t vérifie cette inégalité, le sup sur [t,2t] est bien inférieur à epsilon et la définition de la limite est bien vérifiée, d'où le résultat voulu.
Je reprends depuis le début pour que cela soit clair :

fixons
y(x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0 donc il existe tel que pour tout x > 0 vérifiant vérifie

posons

soit t un réel strictement positif tel que

alors pour tout x de [t,2t], on a
donc ceci étant vrai pour tout x de [t,2t], c'est aussi vrai pour le sup, d'où

Kaiser

Rappel : Le , ça ne se fait pas en 2 secondes !

Kaiser

ok laà c'est bien clair merci beaucoup encore de prendre de ton temps pour m'aider

est-ce que tu peux m'expliquer l'autre partie de la question?

excuse moi je ne voulais pas enfin bref de toutes façon je n'arrive même pas à écrire en latex, désollée

Je t'en prie !

Comme précisé plus haut, je te demandais de remarquer que .
De plus, utilise le résultat que l'on vient de démontrer (à quelle fonction va-t-on l'utiliser ?)

Kaiser

C'est bon, ça ira !

je ne vois pas bien ce qu'il faut faire et à quelle fonction l'appliquer...

a ton avis, pourquoi ai-je mis en évidence ? Que dire de cette fonction ?

Kaiser

pour avoir une histoire de o?

oui et donc ?

Kaiser

on a h(x)/x=o(x)  ?

non, c'est un o(1) !

Kaiser

h(x)dx entre t et 2t c'est donc = 0(1)*x entre t et 2t?

attention, on ne peut pas sortir la fonction de l'intégrale, il faut prendre la valeur absolue et faire intervenir un sup (qui ne dépendra alors plus de x), comme dans la question précédente.

Kaiser

ça marche comme ça je trouve que l'intégrale est = o(x²)!!!

ok d'accord ça ne marche pas

mais on y est presque !

Kaiser

comment j'écris par rapport au o avec | | et sup?

Déjà, tu majores en rentrant les valeurs absolues dans l'intégrale.
Ensuite, tu majores par son sup sur [t,2t] que tu pourra sortir de l'intégrale. Enfin, utilise la question précédente.

Kaiser

du coup j'ai quelque chose en | | qui est majoré par quelque chose qui tend vers0 * quelque chose au carré d'où le o(t²)?

c'est bien ça.

Kaiser

merci  énormément j'ai compris


bon je sais qu'il est tard et que je t'ai beaucoup enquiquiné
mais voilà il me reste plus qu'une question avant de passer à la partie IV sur les matrices ( heureusement que j'y arrive mieux qu'avec l'intégration et les o)  et je voulais savoir si sans abuser ça te gènerai de m'accorder encore 5 min???

eh ben écoute, allons-y !

Kaiser

merci infiniment vraiment

montrer que f (définie précédemment) a) admet un dl d'ordre 2 en 0, le déterminer
b) peut se prolonger en une fonction dérivable en 0, f(0)? , f'(0)?

en utilisant le résultat de ton message de 22h51, essaie de trouver une fonction h qui vérifie les hypothèse de la question précédente.

Kaiser

si je prend h(x)= 1/(x+sinx)-1/2x -x/24= o(x)?

et donc h(x)dx entre t et 2t est o(x²)

f(x) = o(x²)-(1/2x+x/24)dx ?

oui, ça a l'air de marcher !
continue !

Kaiser