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Une intégrale avec changement de variable

Posté par
mkzpr0 02-08-22 à 18:37

Bonsoir,

J'essayais de résoudre \int_{0}^{1}{\sqrt{(1+x^{2}}}dx qui m'avait été donné en question de kholle au cours de l'année précédente.
j'ai pensé à utiliser un changement de variable en posant f(x) = ch(x)
car on a l'identité : ch^2(x)-sh^2(x)=1

Seulement on a ch(x)/=0 pour tout x réel
Et je ne sais pas résoudre sh(x)=1 :/

Est-ce qu'il y aurait des pistes ?

Merci d'avance

Posté par
larrechre : Une intégrale avec changement de variable 02-08-22 à 18:49

Bonjour,

Il vaut mieux (c'est un euphémisme) faire le changement x=sinh(u), mais il n'y aura rien d'anormal à donner un résultat comportant un terme en argsinh(1).

Posté par
mkzpr0re : Une intégrale avec changement de variable 02-08-22 à 18:56

Oui j'avais compris qu'il fallait faire le chgment x=sh(u), seulement je ne trouve pas comment changer les bornes. En fait sh(0)=0 mais je n'arrive pas a résoudre sh(x)=1 ?

Et pour la remarque argsh(0)=0 mais de même pour argsh(x)= 1??

Posté par
larrechre : Une intégrale avec changement de variable 02-08-22 à 19:04

Quand x=1, u=argsh(1), laisse la borne supérieure sous cette forme et fait le calcul.

A la fin tu peux éventuellement revenir en x.

Posté par
mkzpr0re : Une intégrale avec changement de variable 02-08-22 à 19:29

D'accord, je saisis mieux ton premier message haha, c'est parce que j'ai appris à faire des changements de variables en posant une fonction et en trouvant l'image (de par cette fonction ) des deux bornes de l'intégrale. En gros, avec la formule \int_{p(a)}^{p(b)}{f(t)dt}= \int_{a}^{b}{p'(t)*f(p(t))dt}

Donc je sais pas trop comment avancer :/

Posté par
Zrunre : Une intégrale avec changement de variable 02-08-22 à 19:38

Bonsoir,

Regarde ce qu'il se passe dans ta formule si on pose v = p(b) et u = p(a)

Posté par
larrechre : Une intégrale avec changement de variable 02-08-22 à 19:42

En faisant le changement de variable indiqué, l'intégrale devient

I= \int_0^{argsh(1)}ch^2(u) du puisque (sh(u))'=ch(u)

Il te reste à trouver une primitive de ch^2(u) , ensuite on verra.

Posté par
mkzpr0re : Une intégrale avec changement de variable 02-08-22 à 19:46

\int_{u}^{v}{f(t)}dt=\int_{p^{-1}(u)}^{p^{-1}(v)}{p'(t)*f(p(t))}dt

Posté par
mkzpr0re : Une intégrale avec changement de variable 02-08-22 à 19:49

larrech @ 02-08-2022 à 19:42

En faisant le changement de variable indiqué, l'intégrale devient

I= \int_0^{argsh(1)}ch^2(u) du puisque (sh(u))'=ch(u)

Il te reste à trouver une primitive de ch^2(u) , ensuite on verra.


je comprend pas comment obtenir le ch^2(u)du de l'intégrale,
comment cela se fait qu'on mette du argsh dans les bornes et qu'on se retrouve à appliquer la fonction x->sh(x) dans l'intégrale ?

Posté par
larrechre : Une intégrale avec changement de variable 02-08-22 à 20:00

x=shu,

\sqrt{1+x^2}=\sqrt{1+sh^2u}= chu

Enfin, à la physicienne, dx=(shu)' du=chu  du d'où l'intégrale en u.

Quant à argsh(1) c'est un nombre réel, comme un autre , on peut l'écrire tel quel, sans honte.

Je reviens en fin de soirée, Mais d'ci là un autre intervenant aura peut-être pris le relais.

Posté par
Zrunre : Une intégrale avec changement de variable 02-08-22 à 21:14

mkzpr0 @ 02-08-2022 à 19:46

\int_{u}^{v}{f(t)}dt=\int_{p^{-1}(u)}^{p^{-1}(v)}{p'(t)*f(p(t))}dt


Pour comprendre ce qu'annonce @Larrech , prend p(t) = \sh(t) dans la formule ci-dessus

Posté par
mkzpr0re : Une intégrale avec changement de variable 02-08-22 à 21:17

D'accord, pas de problème, bonne soirée !

J'ai compris, en ds de maths peut on utiliser cette "technique" à la physicienne comme c'est moins rigoureux ?

de ce que j'ai compris moi j'arrive à \int_{0}^{1}{\sqrt{1+x^{2}}}dx = \int_{0}^{1}{ch^2(u)du}

je ne vois pas comment on peut changer comme bon nous semble les bornes car argsh(1) != 1 j'aurai plutôt mis arsh(sh(1)) sur la borne supérieure de l'intégrale.

En admettant que c'est juste,

comme ch^2(u) = (ch(2x)+1)/2
On en déduit:
                                                                                   argsh(1)
que l'égalité vaux : [sh(2x)/4 + 1/2 x]                          
                                                                                  0
après calcul j'ai (sh(2argsh(1))+2argsh(1))/4


En conclusion je n'ai juste pas compris comment changer les bornes initialement en 0 et argsh(1)

Posté par
mkzpr0re : Une intégrale avec changement de variable 02-08-22 à 21:25

Zrun @ 02-08-2022 à 21:14

mkzpr0 @ 02-08-2022 à 19:46

\int_{u}^{v}{f(t)}dt=\int_{p^{-1}(u)}^{p^{-1}(v)}{p'(t)*f(p(t))}dt


Pour comprendre ce qu'annonce @Larrech , prend p(t) = \sh(t) dans la formule ci-dessus


si on prend p(t)=t:
alors p^(-1)(t)= t^2/2

d'où : \int_{u}^{v}{f(t)dt} = \int_{u^2/2}^{v^2/2}{p'(t)*f(p(t))dt}=\int_{u^2/2}^{v^2/2}{1*f(t)dt}

était-ce là que tu voulais m'emmener ?

Posté par
mkzpr0re : Une intégrale avec changement de variable 02-08-22 à 21:40

(j'en profite pour poser une petite question dans le même chapitre:
j'ai vu que la primitive de 1/(1-x^2) c'est 1/2ln(|(1+x)/(1-x)|) mais n'est ce pas aussi arcth(x) ? 1/(1-x^2) aurait 2 primitives différentes ?) )

Posté par
Zrunre : Une intégrale avec changement de variable 02-08-22 à 21:51

Houla mince je me suis trompé dans ma formule LaTeX, il fallait lire p(t) = sh(t).
Attention quand même p^{-1} désigne la réciproque de p .
Et ensuite l'astuce à la physicienne , quand tu as l'habitude en fait tu écrit juste le changement de variable que tu fais et directement l'égalité entre les deux intégrales

Posté par
mkzpr0re : Une intégrale avec changement de variable 02-08-22 à 22:44

Oups, en effet, haha

C'est bon je retombe bien sur mes pattes !!

Il y a donc plusieurs manières de faire un changement de variable c'est cool !

Merci pour le temps accordé, et surtout l'aide qui m'a permis de comprendre plusieurs choses.

Bonne soirée à vous.

Posté par
larrechre : Une intégrale avec changement de variable 02-08-22 à 23:13

Citation :
après calcul j'ai (sh(2argsh(1))+2argsh(1))/4

cela se simplifie

sh(2argsh(1))= 2sh(argsh(1))ch(argsh(1))=2ch(argsh(1))=2\sqrt{1+sh^2(argsh(1))}= 2\sqrt{2}

Il était plus "simple" de revenir en x à la fin

I=\left [sh(2u)/4 + u/2 \right] _0^{argsh(1)}=(1/2) \left[x\sqrt{1+x^2}+argsh(x)\right]_0^1=(argsh(1)+\sqrt{2})/2

Posté par
mkzpr0re : Une intégrale avec changement de variable 02-08-22 à 23:26

C'est mieux en effet, merci haha !

Posté par
luzakre : Une intégrale avec changement de variable 03-08-22 à 09:33

Bonjour !
Niveau terminale :
pour calculer z=\arcsinh x en fonction de x on écrit
e^z-e^{-z}=2x
et on résout l'équation du second degré de l'inconnue e^z en remarquant qu'on doit prendre la racine positive et on obtient finalement
\arcsinh x=\log(1+\sqrt{1+x^2})

Posté par
luzakre : Une intégrale avec changement de variable 03-08-22 à 09:34

oups ! coquille !
ce qui donne z=\log(1+\sqrt{1+x^2})

Posté par
larrechre : Une intégrale avec changement de variable 03-08-22 à 09:49

Effectivement, je n'ai pas le niveau, merci luzak

Posté par
mkzpr0re : Une intégrale avec changement de variable 03-08-22 à 11:06

Oups haha merci luzak,

par contre pour sh(x)=0 en résolvant avec ta solution j'ai:

z=ln(1+\sqrt{1+0^2}) = ln(2)
or sh(ln(2))= 3/4 != 0 ?

Posté par
mkzpr0re : Une intégrale avec changement de variable 03-08-22 à 11:18

après calcul je trouve alors:
z=\frac{1}{2}*ln(1+2x^2+2x\sqrt{1+x^2})

et donc sh(z)=1 <-> z=(ln(3+2\sqrt{2})* 1/2

y'a plusieurs manières d'exprimer les solutions waouh et de même pour la primitive de \frac{1}{1-x^2}


mkzpr0 @ 02-08-2022 à 21:40

(j'en profite pour poser une petite question dans le même chapitre:
j'ai vu que la primitive de 1/(1-x^2) c'est 1/2ln(|(1+x)/(1-x)|) mais n'est ce pas aussi arcth(x) ? 1/(1-x^2) aurait 2 primitives différentes ?) )

Posté par
carpediemre : Une intégrale avec changement de variable 03-08-22 à 13:40

salut

larrech @ 02-08-2022 à 20:00

Enfin, à la physicienne ...
... ce n'es pas vraiment une question de "discipline" mais plutôt la notion de forme différentielle (exacte) ou forme différentielle (totale) en travaillant dans l'espace vectorielle R de dimension 1 ...

un changement de variable n'est rien d'autre que cela car quand on écrit x = \sinh u on devrait plutôt écrire x(u) = \sinh u
la variable x est en fait une fonction de la variable u ...

et en utilisant la notation différentielle "quotient" on a donc \dfrac {dx} {du} (u) = \cosh u soit encore dx(u) = \cosh u du



le changement de variable n'a alors d'autre objectif que d'arriver à une forme différentielle exacte : ainsi si après le changement de variable on arrive à f(x)dx = dw(u)  alors c'est gagné puisqu'à alors   \int f(x)dx = \int dw(u) = [w(u)]

PS : je n'ai pas mis de bornes ...

Posté par
mkzpr0re : Une intégrale avec changement de variable 03-08-22 à 13:45

Bon visiblement j'ai mal fait mes calculs et je ne vois pas l'erreur. En faisant ça autrement (sans élever au carré mais juste en multipliant par e^z des deux cotés je trouve z = ln (x + \sqrt{x^2 +1})

détail du calcul donnant premier (faux) résultat:

e^z - e^{-z} =2x
en élevant au carré des deux côtés :
e^{2z} -2 + \frac{1}{e^{2z}} = 4x^2
Et donc à ce moment je multiplie par e^2z
e^{4z} +1 - (2+4x^2)e^{2z} = 0
donc je pose Z = e^{2z} et w =  e^z <-> z=ln(w) (en prenant la racine positive)

et alors Z(1/2)= 1+2x^2 \pm 2x\sqrt{1+x^2}

et donc w = \sqrt{Z} = \sqrt{1+2x^2 + 2x\sqrt{1+x^2}}

d'ou z = ln(w) ....

(j'ai pris la partie positive a chaque fois)

Posté par
larrechre : Une intégrale avec changement de variable 03-08-22 à 15:30

bonjour carpediem,

Bien sûr qu'il s'agit d'une forme différentielle, mais je croyais que cette façon de procéder, si l'on n'a pas encore  connaissance de cette notion, était considérée comme "non rigoureuse" par certains enseignants.
Je me trompe donc encore, comme déjà dit, je n'ai pas le niveau.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une intégrale avec changement de variable 03-08-22 à 15:51

Bonjour


Citation :
J'essayais de résoudre \int_{0}^{1}{\sqrt{1+x^{2}}}dx qui m'avait été donné en question de kholle au cours de l'année précédente.



on peut aussi procéder par IPP :


\Large\boxed{I=\int_{0}^{1}{\sqrt{1+x^2}}~dx=\left[x\sqrt{1+x^2}\right]_0^1-\int_{0}^{1}\frac{x^2+1-1}{\sqrt{1+x^2}}~dx=\sqrt2-I+\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}}

Posté par
carpediemre : Une intégrale avec changement de variable 03-08-22 à 17:40

larrech : non tu ne te trompes pas ... mais c'était plutôt pour expliquer à mkzpr0 l'idée générale même s'il n'a pas (encore) vu le cours ...

je voulais plutôt pointer sur ton expression : la "méthode" physicienne dérive elle-même de quelque chose de mathématiquement très "propre" et ne pas laisser croire à mkzpr0 que "ce n'est pas des math" !!! mais que comme Mr Jourdain il pratique "quelque chose" sans nécessairement le connaitre explicitement !!

Posté par
larrechre : Une intégrale avec changement de variable 03-08-22 à 18:18

J'ai trop de respect pour les physiciens pour sous entendre cela. Au moins eux ne s'embarrassent pas d'un formalisme exagéré quand il n'est pas absolument nécessaire, et en cela, à mon bien modeste niveau, je leur donne 100 fois raison.
Mais  ces méthodes "rapides" sont parfois mal vues et je constate que  tu en es bien d'accord. C'est le petit message qu'ironiquement je voulais faire passer à mkzpr0.
Bonne fin de journée.


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