salut

qu'as-tu fais pour montrer qu'elle s'annule au moins une fois ?

si f ne s'annule pas sur [0,pi/2], son signe est cte. Comme x [0,pi/2],  cos>=0 alors [/2]integrale[0] f(t)cost(t)dt=0 <=> x , f(x)cos(x)=0: c'est absurde.

[0,pi/2] f(t)cos(t)dt=0 x R, f(x)=0

Oups, j'avais beaucoup de mal à faire ces intégrales. Je veux dire: pour tout x de [0,pi/2], f(x)=0

Bonsoir,

Tu peux utiliser ceci:

, donc ...

Bonsoir, je pense que vous faites allusion au théorème de Rolle: celui-m'indique seulement que f s'annule au moins une fois. Il ne me dit pas qu'il s'annule 2 fois.

Bonsoir

Vous obtenez bien que



mais peut-on vraiment en déduire que f est identiquement nulle sur [0,pi/2] ? (fermé)...

pour répondre à l'exercice d'ailleurs, pas besoin a priori : prendre deux valeurs pour lesquelles cos ne s'annule pas.

En fait mes deux messages précédents sont un peu à côté de la plaque, mais ceci est faux et m'a embrouillé :

Lc1 @ 12-07-2018 à 21:39

[0,pi/2] f(t)cos(t)dt=0 x [0,pi/2], f(x)=0

Bonsoir, oui c'est juste, mais on peut en déduire que f s'annule plus d'une fois. Par contre, je ne comprends pas ce que vous m'expliquez dans votre second message.

Par un raisonnement par l'absurde et pas avec une équivalence !

(oubliez mes deux premiers messages)

Vous avez essayé de donner un nom à ce premier point d'annulation et de bidouiller du Rolle sur les bons intervalles ? Il va bien falloir utiliser le sinus à un moment donné.

J'ai une petite idée mais rien de concret, je reviendrai plus tard (/tôt).

Non mais au debut j'ai fait l'hypothèse que f a un signe cte et donc x [0,/2], f(x)cos(x)=0.

Soit A := { x ]0 ,  /2 [│ f(x) = 0 } .
A est non vide car sinon  l'application f.cos serait > 0 sur ]0 , /2[  et  son intégrale sur [0 , /2] serait nulle .

Supposons que A soit un singleton {c} . Quitte à remplacer f par -f on peut supposer que f(x) < 0 si c U :=  [0 , c[ et f(x) > 0 si x ] V := ]c , /2]  .

Comme   _U f.(cos  + sin)  +    _V f.(cos  + sin) = 0   on a   :    _U f.(cos  + sin) =    _V f.(cos  + sin)  = 0  et A contient 3 éléments au moins .
Y a contradiction .

Bonjour,

Je pense qu'on peut aussi exploiter la nature de la variation des fonctions et , l'une est croissante et l'autre décroissante et
, pour
, pour

ainsi que étudier les cas de la position de la première racine c par rapport à

Ce que j'ai raconté  est incorrect .
Par contre  l'intégrale sur [0 , /2] de   f.(cos - sin) est nulle  et comme cos(t) - sin(t) = 2.cos(t + /4) pour tout réel t  on en déduit que l'application t f(t + /4) de [-/4 , +/4] vers s'annule en au moins un point r de ]  -/4 , +/4 [   .
On a aussi    f(-r + /4) = 0 .

Ce n'est toujours pas ça !

Bonjour, j'étais partis en considérant un point c de [0,pi/4] tq f(c)=0 et en supposant que f>=0 sur [0,c]. Mais je n'ai pas abouti.

Bonsoir,

Je ne crois pas que ce soit une histoire de .
Supposons que ne s'annule qu'une fois en . Alors garde un signe constant sur et sur .
Par exemple, , puis .

On a alors : et , donc en faisant la somme, on obtient : .
Pareil avec sin t, on obtient :.

On obtient une contradiction.

Simple et élégant

Bonjour, je ne comprends pas d'où viennent ces inégalités strictes. Avec des inégalités larges on obtient l'égalité [0,pi/2] f =0. Peut-on conclure?

Par théorème:  l'intégrale d'une fonction continue, positive et non nulle, est strictement positive.

Les inégalités strictes viennent de ce que :

- f est positive sur [0;c], ne s'annule pas sur [0;c[ et est continue.

- l'application t cos(t) - cos(c) est positive sur [0;c], ne s'annule pas sur [0;c[ et est continue.

- donc l'application g : t f(t)(cos(t) - cos(c)) est positive sur [0;c], ne s'annule pas sur [0;c[ et est continue.

- donc par un résultat de cours (facile à établir si ce n'est pas connu)

Bonjour coa347 !
Très jolie démonstration !
Question de "pinailler" : tu ne peux pas dire, à priori, que sur .
La restriction pourrait s'annuler, voir être identiquement nulle (bien entendu seule une des restrictions peut être identiquement nulle).
Mais ce n'est pas grave car en ajoutant deux inégalités, dont l'une est stricte tu obtiens la propriété voulue (à noter qu'on peut alors dire, à postériori, que la restriction à n'est pas identiquement nulle mais cela ne sert plus à rien).

Je retire ce que j'ai dis. Bravo. Je commence à perdre mes réflexes de Sup. 😫

En relisant attentivement l'énoncé on ne voit pas mention de la possibilité d'une fonction identiquement nulle.
Bon d'accord on aurait bien alors au moins deux zéros...
On devrait ajouter l'hypothèse : non identiquement nulle.

En fait l'énoncé aurait dû dire : "montrer que a au moins deux zéros avec changement de signe" car une fonction peut avoir des zéros sans changer de signe.
Le raisonnement par l'absurde présenté devient alors : on suppose que change de signe une seule fois d'où l'existence de etc... mais il y a possibilité pour les restrictions d'avoir d'autres zéros sans changement de signe, voire être (une des deux) identiquement nulle.

Bonjour luzak.
Juste histoire de comprendre la "pinaillerie".

Tu pars de la définition rigoureuse que f(t) > 0 sur [0;c[ est , c'est ça ?

Si ce n'est pas ça, je ne comprends ce qui empêche de supposer à priori f(t) > 0 pour tout t de [0;c[ ? (Puisque précisément, comme tu le fais remarquer, on veut montrer que f s'annule au moins deux fois, et que donc si on suppose déjà plus de deux annulations, ça ne sert à rien)

Oui tu as raison concernant l'énoncé tel qu'il est écrit.
J'ai voulu un perfectionnement avec : "montrer qu'il y a au moins deux changements de signe".

Sur le plan logique la négation de : "s'annule au moins deux fois " serait  
1. n' a aucun zéro ou
2. a un seul zéro sans changement de signe ou
3. a un seul zéro avec changement de signe.
La démonstration concerne uniquement le point 3. mais je répète que c'est du pinaillage.

Bonjour,

Merci mais je n'ai pas trop de mérite (en cherchant un théorème dans un livre, je suis tombée sur un exercice qui m'a fait mise sur la voie).

Si f est identiquement nulle sur [0, pi/2] ou [0,c] ou [c, pi/2], ou sur tout autre intervalle inclus dans [0, pi/2], alors f s'annule au moins deux fois. Donc on suppose en effet que f n'est identiquement nulle sur aucun intervalle inclus dans ]0, pi/2[. Alors f prend une valeur strictement positive et une valeur strictement négative dans l'intervalle, et on suppose que f ne s'annule qu'une fois en c situé dans ]0, pi/2[. Alors f change de signe en s'annulant. On aboutit alors à une contradiction. Donc f s'annule au moins deux fois.

Tu n'as pas envisagé les cas où :
ne s'annule pas (donc garde un signe constant et on peut supposer qu'il a déjà été traité)
s'annule une seule fois sans changer de signe.

Mais ce ne sont que des cas très simples à traiter...

- f ne s'annule pas : alors f > 0 ou f < 0 sur l'intervalle (car f est continue, et d'après le TVI si on a les deux à la fois, f s'annule), et alors on ne peut pas avoir l'hypothèse (intégrale de f(t) cos(t) nulle sur l'intervalle) ; impossible, donc f s'annule (déjà montré il me semble par Lc1).

- f s'annule sans changer de signe : on est dans le cas où f n'est pas identiquement nul, donc il existe un point où f > 0 (ou f < 0) ; on a alors un autre point où f < 0 (resp. f>0), sinon l'hypothèse (intégrale de f(t) cos(t) nulle sur l'intervalle) n'est pas vérifiée : dès lors f s'annule en changeant de signe ; donc impossible encore (dit aussi sans être montré par Lc1).