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Une intégrale particulière

Posté par
mathematico 26-04-08 à 21:39

Bonjour,

Cela fait quelque temps que j'essaie d'étudier les propriétés de cette intégrale à travers des questions proposées par l'énoncé:

J(x) = \frac{2}{\pi}\Bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos(xsin(t))dt


1 - Montrer que J est lipschitzienne sur \mathbb{R}

2 - Montrer que J est dérivable et que
J'(x) = -\frac{2}{\pi}\Bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin(xsin(t))sin(t)dt
(à déduire du fait que pour u,v réels, |cos(u+v) - cos(u) + vsin(u)| \le \frac{v^2}{2}...)

3 - Montrer que \lim_{x\to +\infty}\Bigint_{0}^{a} g(t)cos(xsin(t))cos(t)dt = 0, avec a élément de ]0,Pi/2[ et g une fonction de classe 1 de [0,a] dans \mathbb{R}. En déduire \lim_{x\to +\infty} J(x) = 0.


Toute aide ou indication est la bienvenue!! Merci bcp!

Posté par
tealcre : Une intégrale particulière 26-04-08 à 21:54

Bonsoir,

qu'as tu fait ?

pour la 1 soit x et y dans \bb{R} :

4$J(x)-J(y) = \fr{2}{\pi} \Bigint_0^{\fr{\pi}{2}} (\cos(x\sin(t))-\cos(y\sin(t)))dt

Avec les formules de linéarisations, et en utilisant |sin(a)| \leq |a| t'en déduiras le résultat .

Posté par
mathematicore : Une intégrale particulière 26-04-08 à 22:14

voila j'ai fais ça mais après je me suis embrouillé dans des calculs bourrins... en effet j'ai pas pensé aux formules de linéarisations... merci!

l'énoncé comportait pas mal de questions et celles-ci sont celles que je n'arrive pas à faire (indépendantes du reste)

des idées pour le reste? MERCI!

Posté par
tealcre : Une intégrale particulière 26-04-08 à 22:23

Pour la 2)  tout dépend ton niveau. Globalement :

la fonction 4$f : (x,t) \mapsto \cos(x\sin(t))   est clairement de classe C^1 sur \mathbb{R}\times[0,\fr{\pi}{2}], et on intégre sur un segment. Donc la fonction J est bien dérivable et

4$\fbox{J'(x) = \fr{2}{\pi} \Bigint_0^{\fr{\pi}{2}} \fr{\partial f}{\partial x}(x,t)dt}

Maintenant, tu n'as peut etre pas vu ca .. .Quel est ton niveau ?

Posté par
mathematicore : Une intégrale particulière 26-04-08 à 22:33

je suis en maths sup... non on n'a pas encore vu ça...

je reviens sur la premiere: en transformant la difference de cos en produit de sin, j'obtiens que J(x) - J(y) inferieur a |x^2 - y^2| ... je ne peut pas conclure alors...

merci

Posté par
mathematicore : Une intégrale particulière 27-04-08 à 08:56

peut-on poser k=|x+y| et ainsi dire que la fonction est k-lipchitzienne?

Posté par
tealcre : Une intégrale particulière 27-04-08 à 10:34

hum non car ca dépend de x et y ...

4$\cos(x\sin(t))-\cos(y\sin(t)) = -2 \sin(\sin(t)\fr{x-y}{2})\sin(\sin(t)\fr{x+y}{2})

On majore le premier terme par 4$|sin(t)\fr{x-y}{2}| (on utilise 4$|sin(u)| \leq |u|) et le deuxième violemment par 1, ce qui donne :

4$|\cos(x\sin(t))-\cos(y\sin(t))| \leq 2 |\sin(t)\fr{x-y}{2}|.1 = |x-y| |\sin(t)|

Il ne reste plus qu'à majorer le |sin(t)| restant par 1, et tu pourras finir le calcul de l'intégrale

Posté par
mathematicore : Une intégrale particulière 27-04-08 à 11:48

en effet... merci!

pour le reste je n'ai tjrs pas de solution n'utilisant pas les dérivées partielles...

Posté par
mathematicore : Une intégrale particulière 27-04-08 à 12:00

pour la deuxieme question, l'objectif est de retrouver la derivation sous signe integrale a partir du resultat donné ( |cos(u+v) - cos(u) + vsin(u)| < v^2/2 pour tous u,v réels) et je vois pas le rapport...

Posté par
soucoure : Une intégrale particulière 27-04-08 à 13:29

Justement moi non plus je ne vois pas trop, sinon as tu réussi à démontrer l'inégalité ? Je me demande si c'est pas à partir des séries entières quelle se démontre...

Si quelqu'un à trouver...

Posté par
tealcre : Une intégrale particulière 27-04-08 à 13:41

Pour la dérivée, je pense qu'il faut en fait calculer

J(a+x)-J(a)-J'(a)x et utilisé la majoration pour prouver que c'est un o(x) (en utilisant la définition qu'ils donnent de J')

Posté par
soucoure : Une intégrale particulière 27-04-08 à 13:51

Oui c'est bien ça question I.B.5) de ce sujet ... Quelle mémoire !

Posté par
mathematicore : Une intégrale particulière 27-04-08 à 17:56

l'inegalité je l'ai démontrée avec taylor-lagrange...

pour la 2) donc j'ai utilisé la méthode de tealc et j'ai bien abouti

sinon, pour la 3), idée d'une intégration par parties mais j'arrive pas à faire!!

merci

Posté par
mathematicore : Une intégrale particulière 27-04-08 à 19:17

ah ca y est pour la 3.

mais comment deduire que la limite de J = 0??

Posté par
tealcre : Une intégrale particulière 27-04-08 à 20:11

Hum, prend 4$\fbox{g(x) = \fr{1}{cos(x)}} pour a < \fr{\pi}{2} elle est de classe C^1, t'en déduis donc  ...

Posté par
mathematicore : Une intégrale particulière 27-04-08 à 20:27

haha bonne idée!! merci bcp pour votre temps!


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