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Une limite

Posté par Nil (invité) 03-12-06 à 16:41

Bonjour,

Je tourne en rond depuis pas mal de temps sur une limite, la voici.
La limite lorsque x->1 de :
\frac{x \times ln x}{(x-1)^2} \times e^{\frac{x \times ln x}{x-1}} - \frac{e}{x-1}

Je cherche, si possible, à éviter les developpements limités.
Merci

Nil.

Posté par Nil (invité)re : Une limite 03-12-06 à 16:43

Pardon , une erreur s'est glissée ci dessus, la bonne expression est :

\frac{x \times ln x}{(x-1)^2} \times e^{\frac{ln x}{x-1}} - \frac{e}{x-1}

Posté par
Matouille2bre : Une limite 03-12-06 à 18:04

Salut ...

f(x) = \frac{x \ln x}{(x-1)^2} e^{\frac{\ln x}{(x-1)}} - \frac{e}{x-1}

On pose h=x-1 (afin de ramener l'etude de la limite en 0)

f(h+1) = \frac{\ln(1+h)}{h} e^{\frac{\ln(1+h)}{h}} + \frac{1}{h} [\frac{\ln(1+h)}{h} e^{\frac{\ln(1+h)}{h}} - e]

Essaye de conclure avec ca !!!!

Posté par Nil (invité)re : Une limite 03-12-06 à 18:15

Bonsoir,

faut-il encore transformer l'expression ? Car le deuxieme terme de la somme entraine une indétermination "0*oo".

Nil.

Posté par
Matouille2bre : Une limite 03-12-06 à 18:50

\ln(1+h) = h - \frac{h^2}{2} + o(h^2)
\frac{\ln(1+h)}{h} = 1 - \frac{h}{2} + o(h)
Donc :
e^{\frac{\ln(1+h)}{h}} = e^{1 - \frac{h}{2} + o(h)} = e e^{- \frac{h}{2} + o(h)} = e (1 - \frac{h}{2} + o(h))

Donc :
\frac{\ln(1+h)}{h} e^{\frac{\ln(1+h)}{h}} = (1 - \frac{h}{2} + o(h))(e (1 - \frac{h}{2} + o(h))) = e(1-h + o(h))


Et je te laisse conclure ...

Posté par Nil (invité)re : Une limite 03-12-06 à 18:58

Merci, mais comme je l'avais dit dans mon premier message, je souhaiterai éviter les developpements limités. Cela dit s'il n'y a pas d'autre méthode je m'en contenterai

Nil.


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