Niveau autre

Une petite démo de trigo !

Posté par
fredo889 16-04-17 à 19:55

Bonjour,

Je bloque sur une démo de trigo ! Je sollicite votre aide:
Sur l'intervalle $[0;\frac{\pi}{4}]$ , démontrer que :

$p(\theta)= \frac{2}{\sqrt{1+sin(2\theta)}+\sqrt{1-sin(2\theta)}}$ est égale à $p(\theta)=\frac{1}{cos(\theta)}$

Je ne vois pas comment m'y prendre ! Passer par les DL ?

Posté par re : Une petite démo de trigo ! 16-04-17 à 20:23

salut

un dl ... n'importe quoi ...

ensuite il risque d'y avoir un pb en pi/4 ...

on multiplie par la quantité conjuguée :

le dénominateur est alors 2sin (2t)

le numérateur est alors :

$\sqrt {1 + \sin (2t)} - \sqrt {1 - \sin (2t)} = \sqrt {\cos^2t + 2 \cos t \sin t + \sin^2 t}- \sqrt {\cos^2t - 2 \cos t \sin t + \sin^2 t} = \sqrt {(\cos t + \sin t)^2} - \sqrt {(\cos t - \sin t)^2}$

il est alors aisé d'obtenir le résultat demandé ...

Posté par re : Une petite démo de trigo ! 16-04-17 à 21:14

salut,
on peut poser t=tan(theta) et donc sin(2*theta)=2t/(1+t^2)

Posté par re : Une petite démo de trigo ! 16-04-17 à 21:21

@UsersXcas
Xcas est un logiciel de calcul formel libre et gratuit

supposons(x>=0 et x<=pi/4)
E:=2/(sqrt(1+sin(2x))+sqrt(1-sin(2x))):;
simplify(trigexpand(E))

Posté par re : Une petite démo de trigo ! 17-04-17 à 00:03

Merci beaucoup carpediem ! Je suis idiot en effet, j'avais pensé au conjugué mais je n'ai pas été assez loin...

Merci aussi alb12, mais je trouve la technique précédente plus évidente !

Posté par re : Une petite démo de trigo ! 17-04-17 à 00:19

Bonjour
l'expression conjuguée n'est même pas nécessaire.... le calcul de Carpediem peut se faire directement avec un + entre les deux racines, pour évaluer le dénominateur de la fraction ....

Posté par re : Une petite démo de trigo ! 17-04-17 à 08:17

Bonjour !
Et $\sin 2t=\cos2(\pi/4-t),\;1-cos(2u)=2\sin^2u,\;1+\cos(2u)=2\cos^2u$ ça ne vous dit rien ?