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Une petite fonction C1
Bonjour, j'ai une question dont je ne suis pas sûr de comment rédiger la réponse, je vous demande donc conseil.
On dispose d'une fonction 
, C1 sur [a;+
[, non constante, et :
lim (x) = (a)
x 
+
Je dois montrer qu'elle n'est pas monotone, puis en déduire que '(x) s'annule au moins une fois sur [a,+[ .
Déjà, pour la deuxième partie, alors, j'ai pensé que comme elle n'est pas monotone, elle admet donc des extrêmum relatifs sur [a,[ (au moins un ) , car la dérivée est continue, et change de signe.
Puis, pour la première partie :
J'ai pensé le faire par l'absurde, en supposant que est monotone.
n'est pas constante, donc 
, () 
(a).
est donc également C1 sur [a,] , on a donc les hypothèses accroissements finis :
a
continue sur [a,]
dérivable sur ]a,[
Donc : 
]a,[, tel que '() = [(()-(a)]/(-a) .
Or, si est monotone, alors, 
x[a,+[, '(x)*'() 
0.
En prenant, le cas ()>(a), on obtient croissante.
]]a,[ , donc () > (a) .
Donc, en + , lim (x) () > (a).
Ce qui est impossible, donc n'est pas monotone.
Je suis également dans l'hypothèse que n'est constante sur aucun intervalle, sinon on a déjà '(x) = 0 pour au moins une valeur.
Donc, qu'en pensez vous ? quelque chose à ajouter/enlever ?
Merci
Bonjour,
dans la partie 1, où utilises-tu que phi est non constante sur chaque intervalle?
Je n'ai pas lu en grands détails je l'avoue, mais si tu l'utilises ce n'est pas bon!
A la fin, tu ne peux pas écrire lim phi(x), car tu ne sais pas si elle existe(vu que tu veux prouver que phi(x) ne tend pas vers phi(a)).
Je vois plus simple en tout cas:
Si phi était croissante par exemple, le fait qu'elle n'est pas constante garantirait l'existence de b > a tel que
phi(b) > phi (a).
Pour tout x > b on aurait alors par croissance au sens large: ,
ce qui interdit que , CQFD.
Le cas "décroissante" se traite de façon analogue.
Pour la partie 2, tu utilises implicitement le fait qu'il va exister des intervalles sur lesquels phi est monotone, ce qui n'est pas sûr du tout!
Pense par exemple à la fonction x.sin(1/x) au voisinage de 0, on peut montrer que sur aucun intervalle contenant l'origine, elle n'est monotone!
Indication:si phi' ne s'annulait pas, alors sa continuité entraînerait qu'elle est de signe constant sur [a;+infini[, donc que...
Tigweg
Merci pour ta réponse Tigweg.
En fait, quand j'ai parlé de limite, c'était juste pour dire que ça ne pouvait être (a) de justement.
Les AF c'était pour le signe, mais c'est vrai que c'est un peu trop, sachant que j'ai déjà , qui me donne une valeur différente, puisqu'on me dit que la fonction n'est pas constante. Au moins, je n'étais pas parti dans une mauvaise direction.
Merci encore.
Non, c'était juste une remarque, mal exprimée. C'était pour dire que j'excluais le cas constant, car dans ce cas, on a déjà '(x) = 0, et donc pas vraiment besoin de chercher ^^.
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