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une petite question
Bonsoir,
pourriez vous m'aider svp ?
Comment puis je montrer la convergence sur R de cette série avec fn(x) = (arctan nx) / n² ? et le tableau de variations de la fonction S (où S est la somme de la série) ?
Voilà,
Merci d'avance
A+
Bonjour
Chaque fonction fn est impaire et strictement croissante sur 
. Il me semble clair qu'il en est de même pour S.
Bonjour,
merci c'est ce que je pensais.
Par contre j'ai un autre doute dans le même genre...vous pouvez m'aider svp ?
On pose, pour n>=1, et x appartenant à R :
fn(x) = ln(1+ x²/n²)
a) Etudier la convergence simple de la série de fonctions Somme des fn.
J'ai dit : ln (1+ x²/n²) équivalent en +infini à x²/n² donc convergent.
Trouver alors le domaine de convergence simple D :
Je ne sais pas trop là...
b) Variations de f sur D
??
c) Par une minoration simple, trouver lim (quand x tend vers +infini) f(x)
Avec f(x) la somme de la série.
Voilà,
merci d'avance
A+
Bonjour Aurélie,
a)OK et c'est vrai pour tout choix de x réel, donc D=R
Attention aux équivalents, il faut aussi dire que tout le monde est positif!
b)Fixe n, fn est une fonction croissante sur R+ et décroissante sur R- (théorème des fonctions composées)
D'accord?
Alors j'ai quelque chose mais c'est assez compliqué!
Ca repose sur la comparaison série-intégrale.
Fixons x réel et m un entier non nul, et considérons la somme partielle
.
Pour tout x, est une suite décroissante par rapport à n d'où:
.
Après une intégration par parties et une décomposition en éléments simples, le minorant obtenu à la ligne précédente s'écrit, sauf erreur,
(OUF!)
donc par regroupement, il vient pour tout m:
.
Cette inégalité se préserve à la limite (sur m) ce qui donne pour tout x:
dont la limite en l'infini est infinie.
D'où:
Sauf erreur bien sûr, et sous réserve d'une solution plus simple!
Tigweg
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