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une primitive

Posté par
mariya 23-10-17 à 00:04

Bonsoir
J'ai besoin a cette primitive je n'arrive pas à faire .je veux utilisé  pour résoudre une équation différentielle
  Sin(ln(x))/x^2
Et cos(ln(x))/x^ et merci

Posté par
sonia555re : une primitive 23-10-17 à 00:11

Bonjour,
je pense que c'est du genre u(x)/v(x) avec u(x)=sin(ln(x)) et v(x)=x^2.
On a u'(x)= ln'(x) fois cos(ln(x)) et v'(x) = 2 fois x
ln'(x) = 1/x donc u'(x) = cos(ln(x)) / x
et on remplace dans (u'v - v'u) / v^2 selon la formule habituelle.
Est-ce que tu vas y arriver ? cool

Posté par
etniopalre : une primitive 23-10-17 à 00:39

  Si  on désigne par f l'application x   sin(ln(x))/x²   de ]0 , +[ vers une de ses  primitives  est F : x F(x) = \int_{1}^{x}{}\frac{sin(ln(t))}{t²}dt=\int_{1}^{ln(x)}{}sin(s)exp(-s)ds .
Une  IPP  fait sauter   .

Posté par
etniopalre : une primitive 23-10-17 à 00:49

F(x) = \int_{1}^{x}{}\frac{sin(ln(t))}{t²}dt=\int_{0}^{ln(x)}{}sin(s)exp(-s)ds

Posté par
flightre : une primitive 23-10-17 à 05:10

salut

assez facilement en posant  une IPP

I = sin(lnx)dx/x² = [-(1/x).sin(lnx)] + (1/x²).cos(lnx)dx.

en posant J = (1/x²).cos(lnx)dx.    on a  :

J = [-(1/x).cos(lnx)] - -(1/x²).sin(lnx)dx.    soit J =  [-(1/x).cos(lnx)] - I

du coup  I = -(1/x).sin(lnx) + J   soit I =  -(1/x).sin(lnx) + [-(1/x).cos(lnx)] - I

et finalement 2I = -(1/x).sin(lnx) + -(1/x).cos(lnx) et donc

I =  -(1/2x).[sin(lnx) + cos(lnx)]

Posté par
flightre : une primitive 23-10-17 à 05:13

la derivée de I  soit  

I' = 1/2x²[ sin(lnx)+cos(lnx)]  -( 1/2x). [ cos(lnx)/x   -  sin(lnx)/x]  donne  bien sin(lnx)/x²

Posté par
Razesre : une primitive 23-10-17 à 16:20

Bonjour,

L'idée suggérée par etniopal est aussi intéressante:

t=\ln x; x=e^{t}\Leftrightarrow dx=e^tdt

F(x) = \int \dfrac{\sin(\ln(x))}{x^{2}}dx= \int \dfrac{\sin(t)}{e^{2t}}e^tdt=\int\sin(t)e^{-t}dt

On procède par 2 IPP:

u=-\cos(t);u'=\sin(t);v=e^{-t};v'=-e^{-t}, d'où : F(x)= -\cos(t) e^{-t}-\int\cos(t)e^{-t}dt
Puis:
u=\sin(t);u'=\cos(t);v=e^{-t};v'=-e^{-t}, d'où : \int\cos(t)e^{-t}dt=\sin(t)e^{-t}-\int-\sin(t)e^{-t}dt=\sin(t)e^{-t}+F(x)

Donc:
F(x)= -\cos(t) e^{-t}-\sin(t)e^{-t}-F(x)\Leftrightarrow

F(x)= -\dfrac{1}{2}\left (\cos(t)+\sin(t) \right )e^{-t} = -\dfrac{1}{2x}\left (\cos(\ln x)+\sin(\ln x)\right )

Posté par
Razesre : une primitive 23-10-17 à 18:29

Autre façon légèrement différente:

t=\ln x; x=e^{t}\Leftrightarrow dx=e^tdt

F(x) = \int \dfrac{\sin(\ln(x))}{x^{2}}dx= \int \dfrac{\sin(t)}{e^{2t}}e^tdt=\int\sin(t)e^{-t}dt

F(x) =\Im \left (\int e^{(-1+i)t}dt\right )=\Im \left (\dfrac{e^{(-1+i)t}}{-1+i} +K\right )=\Im \left (-\frac{1}{2}(1+i)e^{(-1+i)t} +K\right )=

-\dfrac{1}{2}\Im\left (\left ( 1+i \right )\left ( \dfrac{1}{x}\cos(\ln x)+i\dfrac{1}{x}\sin(\ln x)\right )\right )+K=-\dfrac{1}{2x}\left ( \cos(\ln x)+\sin(\ln x) \right )+K; K\in \mathbb{R}

Posté par
alb12re : une primitive 23-10-17 à 18:50

salut,
est-ce un forum d'aide ou un combat flight vs Razes ?
il y a au moins une personne qui n'aura pas travaille dans ce fil.

Posté par
lafol Moderateurre : une primitive 23-10-17 à 18:57

Bonjour
à ce propos ....
une primitive

ce serait bien que les aidants aussi lisent "à lire avant de poster", en fait ...

Posté par
etniopalre : une primitive 23-10-17 à 19:27

On peut éviter les IPP en considérant G(x) = \int_{1}^{x}{}\frac{cos(ln(t))}{t²}dt (c'est demandé ) et en remarquant que
F(x) + iG(x) = \int_{0}^{ln(x)}{}exp((i - 1)s)ds   qui se " calcule " facilement .

Yorapuka séparer  partie réelle et partie imaginaire pour avoir F et G .

Posté par
Razesre : une primitive 23-10-17 à 20:01

alb12 @ 23-10-2017 à 18:50

salut,
est-ce un forum d'aide ou un combat flight vs Razes ?
il y a au moins une personne qui n'aura pas travaille dans ce fil.
J'ai proposé les deux façons après qu'une solution ait été proposé et pour ce qui est du combat   imaginaire, je te laisse compter les points.

Posté par
alb12re : une primitive 23-10-17 à 20:07

C'est bien ce qu'on vous reproche !


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