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Une primitive avec des cosinus et des chgts de variables...

Posté par jmix90 (invité) 18-08-05 à 19:13

Bonjour,

J'ai des difficultés à trouver la primitive de la fonction f(x)=\frac{sin(x)}{\sqrt{cos(x)+cos(2x)}}

Je pense donc qu'il faut trouver la primitive sur [0;\frac{\pi}{3}]. Ce qui donnerait F(x)=\int_0^{x} \frac{sin(x)dx}{\sqrt{cos(x)+cos(2x)}} .

Je fais un changement de variable et je trouve que F(x)=\int_0^{cos(x)} \frac{-dx}{\sqrt{(x+1)(2x-1)}} .

Seulement je sais pas du tout, comment m'en sortir ensuite... Si quelqu'un pouvait m'apporter sa lumière.

Merci

Posté par
cinnamonre : Une primitive avec des cosinus et des chgts de variables... 18-08-05 à 19:33

Salut,
mets ce qu'il y a sous la racine sous forme canonique, fais un nouveau changement de variable et utilise les fonctions trigo hyperboliques ...
Je sais pas si ça marche, mais je vais essayer !

à+

Posté par jmix90 (invité)re : Une primitive avec des cosinus et des chgts de variables... 18-08-05 à 19:40

Hum hum, je ne suis pas déja sous forme canonique a la fin ?

merci

Posté par
cinnamonre : Une primitive avec des cosinus et des chgts de variables... 18-08-05 à 19:42

Non,
en fait l'astuce c'est de faire apparaître \frac{1}{\sqrt{u^2-1}} qui est un primitive connue

Posté par
cinnamonre : Une primitive avec des cosinus et des chgts de variables... 18-08-05 à 19:43

une primitive.

Posté par
cinnamonre : Une primitive avec des cosinus et des chgts de variables... 18-08-05 à 19:56

Bon je te fais la forme canonique :

(x+1)(2x-1)

= 2x^2+x-1

=2[x^2+\frac{x}{2}-\frac{1}{2}]

=2[x^2+\frac{x}{2}+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-\frac{1}{2}]

=2[(x+\frac{1}{4})^2-\frac{9}{16}]

=2\times \frac{9}{16}[\frac{16}{9}\times (x+\frac{1}{4})^2-1]

=\frac{9}{8}[(\frac{4x+1}{3})^2-1].


Il suffit alors de poser u = \frac{4x+1}{3} et de conclure...



Posté par
charlynoodlesre : Une primitive avec des cosinus et des chgts de variables... 18-08-05 à 19:57

Je suis de passage :

Voici une idée : se servir des règles de Bioche

En posant u=tan(\frac{x}{2})

On sait que :

Cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2} où u=tan(\frac{x}{2})

Sin(x)=\frac{2u}{1+u^2} où u=tan(\frac{x}{2})


On sait que cos(2x)=2sin(x)cos(x)

avec le changement de variable précédent :

\sqrt{cos(x)+cos(2x)}=\sqrt{\frac{1-u^2}{1+u^2}+\frac{4u*(1-u^2)}{1+u^2}=\sqrt{\frac{-4u^3-u^2+4u+1}{1+u^2}}

avec le changement de variable l'intégrale devient "sans le dx"

\frac{2u}{1+u^2}*\sqrt{\frac{-4u^3-u^2+4u+1}{1+u^2}}

avec le changement de variable on obtient dx=\frac{2du}{1+u^2}

Donc finalement :

\frac{2u}{1+u^2}*\sqrt{\frac{-4u^3-u^2+4u+1}{1+u^2}}*\frac{2du}{1+u^2}

Voilà, je vais continuer à bidouiller

Charly

Posté par
cinnamonre : Une primitive avec des cosinus et des chgts de variables... 18-08-05 à 20:07

En fait j'ai fait une erreur dans mon post de 20:33....
Les fonctions hyperboliques n'interviennent pas

Posté par jmix90 (invité)re : Une primitive avec des cosinus et des chgts de variables... 18-08-05 à 20:09

Bonjour,

La règle de bioche dit aussi de faire le changement de variable que j'ai fait... merci quand meme!

Merci cinnamon !

Posté par
cinnamonre : Une primitive avec des cosinus et des chgts de variables... 18-08-05 à 20:11

Je t'en prie jmix90 .

Comme quoi, il ne faut pas sous-estimer le pouvoir de la canonisation...

Posté par jmix90 (invité)re : Une primitive avec des cosinus et des chgts de variables... 18-08-05 à 20:12

C'est quand même bien fait !

(les maths) !

Posté par
cinnamonre : Une primitive avec des cosinus et des chgts de variables... 18-08-05 à 20:16

C'est une technique qui marche assez bien quand tu as une racine en inverse et un polynôme du second degré dessous. Il faut juste l'avoir vu une fois...

Si tu en as d'autres comme ça, n'hésite pas

Bonne soirée.

à+ sur l'

Posté par
charlynoodlesre : Une primitive avec des cosinus et des chgts de variables... 18-08-05 à 20:17

J'ai développé pour rien : on arrive à


\frac{2u}{1+u^2}*\sqrt{4u*(\frac{1-u^2}{1+u^2})^2}

Charly

Je vais manger

Posté par jmix90 (invité)re : Une primitive avec des cosinus et des chgts de variables... 18-08-05 à 20:28

Eu oui j'en ai une autre alors lol!


G(x)=\int_0^{x}%20\frac{dt}{t+\sqrt{2t(1-t)}}

Alors, la moi j'ai aucune idée !


Posté par
cinnamonre : Une primitive avec des cosinus et des chgts de variables... 18-08-05 à 20:31

Moi non plus, mais je réfléchis

A plus tard...

Posté par
cinnamonre : Une primitive avec des cosinus et des chgts de variables... 18-08-05 à 21:27

Rebonsoir,

On te l'a donnée comme ça sans indication, ou c'est une intégrale que tu as transformée ?

Parce que là franchement, j'ai aucune idée .

Je continue à réfléchir...

Posté par jmix90 (invité)re : Une primitive avec des cosinus et des chgts de variables... 18-08-05 à 21:32

On me l'as donné avec une indication : \int g(x)dx=\int F(x,u)dx avec u=\sqrt{\frac{1-x}{x}} et ceci, après m'avoir fait calculer la primitive précedente... Ca pourrait avoir un lien ?

J'ai beau développer, factoriser ou même jeter des sorts je vois pas.

Posté par
cinnamonre : Une primitive avec des cosinus et des chgts de variables... 18-08-05 à 22:25

Alors là, je sèche...

Faudrait que tu me donnes un sort ou deux...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:Une primitive avec des cosinus et des chgts de variables... 19-08-05 à 03:56

Bonjour tout le monde;
on peut remarquer que:
\{{\forall x\in[0,\frac{\pi}{3}[\\ f(x)=\frac{sin(x)}{{\sqrt{2}\sqrt{(cos(x)+\frac{1}{4})^2-\frac{9}{16}}}} =(cos(x)+\frac{1}{4})'g(cos(x)+\frac{1}{4})

où g est la fonction définie par:
\{{x\in]\frac{3}{4},+\infty[\\g(x)=-\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{x^2-\frac{9}{16}}
et on voit donc que si G est une primitive de g sur ]\frac{3}{4},+\infty[, la fonction x\to G(cos(x)+\frac{1}{4}) est une primitive de f sur son domaine de définition.
Détermination deG:
on sait que la fonction argch (réciproque de la fonction cosinus hypérbolique sur [0,+\infty[) vérifie:
\{{\forall x\in]1,+\infty[\\argch'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}
et il est alors facile de voir que pour tout réel strictement positif a on a que:
la fonction x\to argch(\frac{x}{a}) est une primitive de x\to\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} sur ]a,+\infty[.
Conclusion:
Une primitive de x\to \frac{sin(x)}{\sqrt{cos(x)+cos(2x)}} sur son domaine de définition est la fonction 4$\blue x\to -\frac{\sqrt{2}}{2}argch(\frac{4cos(x)+1}{3})
Voilà,je crois que c'est bien ça

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:Une primitive avec des cosinus et des chgts de variables... 19-08-05 à 05:59

Pour 3$\blue x\to G(x)=\int_{0}^{x}\frac{dt}{t+\sqrt{2t(1-t)}}
Je trouve par le changement de variable t\to sin^2(t) que:
5$\red\{{\forall x\in[0,1]\\G(x)=\frac{2}{3}[\sqrt{2}arcsin(\sqrt{x})+ln(sqrt{\frac{x}{2}}+\sqrt{1-x})]
Sauf erreur bien entendu

Posté par
cinnamonre : Une primitive avec des cosinus et des chgts de variables... 19-08-05 à 13:13

Salut,
merci à elhor_abdelali pour ces résolutions .

Finalement les fonctions hyperboliques intervenaient bien (j'ai confondu la primitive de l'Argch avec celle de l'Arcsin .)

Pour la première, je trouve la même chose en faisant deux changements de variables successifs (en posant u = cos(x) puis t= (4u+1)/3 ) donc il ne doit pas y avoir d'erreur.

Pour la seconde, je n'aurais pas pensé à ce changement de variable...chapeau !

à+

Posté par jmix90 (invité)re : Une primitive avec des cosinus et des chgts de variables... 22-08-05 à 00:15

Bonjour,

Est ce que c'est possible d'integrer \int_0^{x} \frac{dt}{t+\sqrt{2t(1-t)}} en \int_0^{x} (\int_0^{u} \frac{du}{t(1+\sqrt{2}u)})dt en faisant calculant cette intégrale:  u=\sqrt{\frac{1-x}{x}}

C'est a dire en utilisant les fonctions a deux variables réelles...

Merci.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Une primitive avec des cosinus et des chgts de variables... 22-08-05 à 03:43

Il y a un problème de notation pour ta 2ème intégrale. Il faut mettre un t en haut du 2ème signe "intégrale". Reste à voir si c'est juste !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Une primitive avec des cosinus et des chgts de variables... 22-08-05 à 03:50

Je reformule : on ne peut pas mettre un "u" en haut de la 2ème intégrale, puisqu'il y a un "du" sous l'intégrale. Certes on peut remplacer les "u" et "du" sous l'intégrale par "y" et "dy", mais il n'y a alors plus de "u" nul part sauf en haut de la 2ème intégrale => incohérence. Par élimination sur les lettres disponibles, je pense que tu voulais mettre un "t". Mais je reste vraiment sceptique sur la justesse de tout cela.


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