Bonjour

Si X est une matrice carrée de taille n, alors sa transposée aussi. Donc    est aussi une matrice carrée d'ordre n. Donc ça veut dire quoi   ?

Bonsoir à toutes et à tous,
Je voudrais de l'aide pour l'exercice suivant. J'ai répondu aux questions 1, 2 mais je ne trouve pas d'idée pour la question 3.


On note, pour tout entier naturel n non nul, l'ensemble des matrices réelles colonnes de taille n que l'on munit de sa structure euclidienne standard où le produit de deux matrices colonnes X et Y est .

On note l'ensemble des matrices réelles carrées d'ordre n et symétriques. On note, pour tout entier naturel n non nul et pour toute matrice A ,  

On dit qu'une matrice A est orthogonalement semblable à une matrice B s'il existe une matrice P (i.e. vérifiant l'égalité )   pour laquelle

1. Soit A,B . On suppose que A est orthogonalement semblable à B.
Prouver l'égalité : R(A) = R(B).

2. Soit et . On note   les valeurs propres de A rangées dans
l'ordre croissant.
2.(a) Prouver l'inclusion :  
2.(b) Établir l'égalité :
(2.c) Montrer que si la matrice A est de trace nulle alors 0 est élément de R(A). Dans le cas où n = 3, la réciproque est-elle vraie?

On appelle diagonale d'une matrice la liste de ses éléments diagonaux.

3. Soit et . On suppose qu'on dispose d'une matrice P pour laquelle a pour diagonale (Tr A,0,...,0) (où Tr A désigne la trace de A). Vérifier que Tr A est élément de R(A).

4. (a) Donner un exemple de matrice dont la trace n'est pas élément de R(A).
4.(b) Soit . Montrer que Tr A R(A) si et seulement si 0 R(A).

5. Soit . On suppose que Tr A R(A). Montrer que A est orthogonalement semblable à une matrice dont la diagonale est (Tr A,0).

6. Soit n un entier avec . On suppose que toute matrice , telle que Tr A R(A),
est orthogonalement semblable à une matrice ayant pour diagonale (Tr A,0,...,0).
Soit telle que Tr A R(A).
6.(a) Justifier l'existence d'une matrice colonne , d'une matrice ligne et d'une matrice pour lesquelles la matrice A est orthogonalement semblable à la matrice par blocs
6.(b) Que vaut TrB ? En déduire que TrB R(B).
6.(c) Conclure que la matrice A est orthogonalement semblable à une matrice de diagonale (Tr A,0,...,0).

7. Soit . Montrer qu'il existe un réel a pour lequel la matrice A est orthogonalement semblable à une matrice dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à a.