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une question sur la serie numerique.
Bonsoir a tous!J'ai un DM a rendre demain et je me suis bloque sur un probleme.Je serais tres content si vous m'aidez.
"On considere la serie E 1/(n^n)." (E veut dire sigma et n>=1)
a)Montrer que sette serie est convergente.
b)Soit Rn = E 1/k^k (k=n+1 et va jusqua l'infini) le reste d'ordre n de la serie.Par comparaison avec le reste d'ordre n d'une serie geometrique montrer que pour tout n>=0,
Rn<=1/(((n+1)^n).n)
c)calculer la somme S= E 1/(n^n) (le depart n=1 et va jusque l'inifini) a 10^-3 pres.
On precisera le nombre de termes utilises et la valeur de chacun d'eux.
Cest tout.S'il vous plait aidez moi.J'attends vos reponses.Merci.
Bonjour,
Pour a) tu remarques que, pour n > 2, n^n > n^2, donc 1/n^n < 1/n^2, et la série de terme général 1/n^2 est convergente (vers PI^2/6) et tu peux conclure.
Pour b) tu remarques que n^(n+k) < (n+k)^n+k donc 1/(n+k)^(n+k) < 1/n^(n+k), ensuite 1/n^(n+k) = (1/n^n).(1/n^k), et pour n fixé, la série en k de terme général 1/n^k est une série géométrique dont tu peux facilement calculer la somme. A partir de là tu pourras conclure.
Pour c) tu utilises b pour estimer à partir de quel rang n0 le reste de la série est majoré par 10^(-3), et tu fais le calcul de la somme des n0 premiers termes de la série.
estce que vous pouvez ecrire avec plus de detail sil vous plait.Je ne comprend rien du tout.Merci.
estce que vous pouvez ecrire avec plus de detail sil vous plait.Je ne comprend rien du tout.Merci.
Bon, on reprend avec un peu plus de détails, maais je ne vais pas tout te faire, ce n'est pas le but du site :
Pour a) tu remarques que :
pour n > 2, n^n > n^2
donc 1/n^n < 1/n^2
La série de terme général 1/n^2 est connue comme convergente (vers PI^2/6) et tu peux conclure : ta série est à termes positifs et chaque terme est majoré par un terme correspondant d'une série convergente, donc elle est elle-même convergente
Pour b) tu remarques que :
n^(n+k) < (n+k)^n+k
donc 1/(n+k)^(n+k) < 1/n^(n+k)
et 1/n^(n+k) = (1/n^n).(1/n^k)
Pour n fixé, l'espression Rn du reste est donc majorée par :
somme(k=n+1..+inf,(1/n^n).(1/n^k)
= (1/n^n).somme(k=n+1..+inf,(1/n^k)
La série en k de terme général 1/n^k est une série géométrique dont tu peux facilement calculer la somme à partir du rang k=n+1 :
Pose Sn=somme(k=n+1..+inf,1/n^k)
Sn=1/n^(n+1)+1/n^(n+2)+1/(n+3)+...
Tu remarques que :
Sn=1/n^(n+1)+1/n(1/n^(n+1)+1/(n+2)+...)
Sn=1/n^(n+1)+(1/n)Sn
D'où
Sn(1-1/n)=1/n^(n+1)
D'où tu déduis Sn, et donc le majorant de Rn
A partir de là tu pourras conclure.
Pour c) tu utilises b pour estimer à partir de quel rang n0 le reste de la série est majoré par 10^(-3). Tu peux faire quelques essais avec la majoration que tu as trouvée en b), pour n=1, 2, 3... Ca a l'air de descendre assez vite.
Enfin tu fais le calcul de la somme des n0 premiers termes de la série.
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