Bonjour Aragogne,

c'est un bon début, tu as tous les éléments pour faire cet exercice ! Si tu as une semi-norme N, alors soit il existe une matrice non nulle A telle que N(A) = 0, soit c'est une norme. La sous-multiplicativité, comme tu as pu déjà le remarquer, permet de traiter un cas très rapidement...

Merci de ta réponse ! Cependant, je ne suis pas plus avancé, j'essaie donc de montrer que puisque pour toute matrice B, , cependant il faut faire intervenir cette matrice non nulle qui a une semi-norme nulle et je ne trouve aucun moyen... Quelqu'un aurait une piste ?

Bonjour,
Posons A une matrice, non nulle de norme nulle.
Si A est inversible, tu as fini.
Vois tu pourquoi?

Si A n'est pas inversible, tu peux te ramener au cas où A est la matrice J_r (qui à r 1 sur la diagonales et des zeros partout) avec r le rang de A

En fait par le meme argument, tu peux voir qu'une matrice qui est nulle partout sauf en r éléments diagonaux où elle a des 1 est de norme nulle.

En faisant des sommes de telles matrices peux tu trouver une matrice inversible de norme nulle?

Bonjour, si A est inversible oui je vois.

Dans le cas où A n'est pas inversible, tu veux supposer que A est de la forme mais je ne comprends pas pourquoi ces matrices auraient une semi-norme nulle et aussi comment faire si A n'est pas de cette forme ?

Désolé mais j'ai l'impression d'être à l'ouest là...

Si A est de rang r, alors a s'ecrit , avec P et Q inversible, autrement dit et la norme de J_r vaut alors?

Merci je comprends mieux, je n'étais pas au courant de cette égalité.

La semi-norme de vaut alors 0 grâce à la sous-multiplicativité de N.

Si on peut montrer que a aussi une semi-norme nulle, on pourra conclure mais tu dis que par le même argument on peut montrer que pour n'importe quelle r,   a une semi-norme nulle, là on a réussi parce qu'il y avait A dans l'équation.

Non en fait pour je me suis fait une mauvaise vision de la chose haha

Non, j'ai pas dit que pour n'importe quel r on avait J_r de norme nulle.

Ce que j'ai dit c'est que par le meme argument on avait (la matrice diagonale de coeff diagonnaux a_1,...a_n) avec exactement r a_i égaux à 1 et les autres nuls était aussi de norme nulle.

En particulier les matrices ,...,   sont toutes de norme nulle (aver r 1 consécutifs).

Et donc leur somme aussi.

D'accord je vois, n'importe quelle matrice de rang r sera de semi-norme nulle, en particulier celle avec des 1 r fois sur la diagonale et des 0 ailleurs.

Donc ce qu'on voudrait faire c'est prendre des matrices de la forme décrite ci-dessus de telle sorte que leur somme fasse . Cependant, si r ne divise pas n (la dimension) il nous manquera un morceau pour former la matrice non ?

* n^2 oupsi

Oula je mélange tout, donc oui n^2 bien la dimension mais c'est avec n que je voulais dire qu'il y a un problème

Non, on cherche pas à obtenir I_n, on cherche a obtenir une matrice inversible.

C'est vrai je ne sais pas pourquoi je m'obstinais à vouloir le trouver de suite. En fait on en rajoute jusqu'à ce que tous les coefficients de la diagonale soit non nulle, on obtient une matrice inversible qu'on appelle W, ensuite on applique la sous-multiplicativité à et c'est gagné non ?

Ben oui.

D'accord merci beaucoup !